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椭圆的定义及其标准方程

上海市松江区上海师范大学附属外国语中学
董海涛
教学目标
1知识与技能目标：
掌握椭圆的定义和标准方程，理解椭圆方程的推导过程。
2．过程与方法目标：
通过让学生亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程，掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高学生动手能力，从而进一步提高解决几何问题的能力
3．情感态度与价值观目标
通过主动探究合作学习，相互交流，感受乐趣和成功的喜悦，通过实例激发学习数学兴趣，培养学生科学探索精神，审美观和理论联系实际的思想，激发学生创新。
二、教学重难点
重点：椭圆的定义及其标准方法，
难点：椭圆标准方程的推导
教学方法：1引导发现法2探索讨论法
四、教学过程
㈠设置情境
电脑演示：（1）油罐车截面的轮廓线（2）神洲五号的运行轨道
让学生观察各实例中的平面图形是什么圆形
㈡探究发现概念阶段
1实验：让学生拿出课前准备的纸板和两枚图钉及几段长度不等的绳子，让学生分成若干个小组，按照课本要求的方法进行绘图。教师巡视指导，然后选出已经完成的几组同学的实验结果进行展示。使学生获得成功的喜悦，并启发引导学生讨论，椭圆上的点应该满足的条件：到两定点距离的和为定长的点的轨迹为椭圆。
2提出问题。
⑴在纸板上作图，说明了什么？
⑵绳长不变，改变图钉间的距离，画出的椭圆有何变化？
⑶当两枚图钉间的距离等于绳长时，画出的图形是什么？
⑷当绳长小于两图钉间的距离时，能划出图形吗？
再一次让学生动手实践、相互交流，共同总结出：
当绳长大于两图钉间的距离时，轨迹为椭圆；
当绳长等于两图钉间的距离时，轨迹为线段；
当绳长小于两图钉间的距离时，无轨迹。
3得出概念
定义：平面内与两定点F1、F2距离的和等于常数2a(大于│F1F2│=2c)的点的轨迹为椭圆。其中两定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
并强调定义要满足三个条件：①平面内②到两定点间的距离和为常数③常数大于两点间的距离。
㈢、探究发现方程的阶段
1问题的提出│
学习椭圆的目的是研究椭圆怎么去研究椭圆？
②求曲线方程的一般步骤。
③怎么建立平面直角坐标系，建系的一般原则是什么？
2建系的方法
由学生相互交流、共同探讨，得出建系的方法，可能会出现以下三种①以F1为坐标原点，F1F2所在直线为x轴，建立坐标系
②以F2以为坐标原点，F1F2所在直线为x轴，建立坐标系
③以线段F1F2的中点为坐标原点，F1F2所在直线为x轴，建立坐标系

3方程推导
把学生分成三组，分别按照上述三种建系方法求解椭圆方程。
写出动点M所满足的集,把集合用坐标表示，获得方程，并化简整理方程（教师巡视指导）。通过对所得三个方程的对比，从方程的简洁与图形的对称美来看，应选择第三种建系方法为最好。
解：如图所示，以线段F1F2的中点为坐标原点，F1F2所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则F1(-c,0)、F2(c,0)，设M(x,y)为椭圆上任意一点，由定义知

指出此方程还不够简洁，还有变形的必要。
令（b>0），则方程变为,
联想到直线截距式方程，两边同时除以a2b2得：
4椭圆的标准方程
[1]椭圆的焦点在x轴上
[2]焦点是F1（-C，0）、F2（C，0）
[3]C2=a2-b2
如果焦点F1、F2在y轴上，原点是线段F1F2的中点，椭圆的方程形式又如何呢？学生相互讨论、合情猜想，可得到方程.，指出该方程也是椭圆的标准方程。
此时[1]椭圆的焦点在y轴上
[2]焦点是F1（0，-C）、F2（0，C）
[3]C2=a2-b2
5归纳小结
椭圆定义以及注意问题
椭圆两个标准方程的形式的特点以及它们之间的联系与区别
椭圆焦点所在轴的判别
㈣、知识应用
例1：指出下列方程中哪些是椭圆的标准方程
①②③④⑤⑥
答案：①⑤
例2判定下列椭圆的焦点在哪个坐标轴上并指出a2、b2的值，写出焦点坐标
①②③
答案
①焦点在x轴，a2=25，b2=16，焦点（-3，0）和（3，0）
焦点在y轴，a2=169，b2=144，焦点（0，-5）和（0，5）
焦点在y轴，a2=m2+1，b2=m2，焦点（0，-1）和（0，1）
㈤、课堂小结：
这节课学习了什么？
揭示了什么思想？
椭圆方程的注意事项
请同学们认真总结在探索和交流中的体会
㈥、布置作业
P96习题8.12、3、4
2（2）思考题：平面内有两个定点的距离是8，写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程
板书设计
课题：8.1
（1）标准方程的推导
（2）求曲线方程步骤
（3）归纳小结
例1
……
例2
…….
反映教材的知识体系，符合总体教学目的，体现教学意图，注意教材的特点和学生的实际一，渗透了教法。