利用几何变换解最值问题.doc

http://www.czsx.com.cn

利用几何变换解最值问题
中考中的最值问题往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度．通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常见的基本问题．
1例说几何变换与最值问题
1.1对称变换可以把点从对称轴的一侧翻到另一侧，从而达到不改变线段的长度却改变其位置的目的．对称变换是把复杂的最值问题转化成基本问题的常用手段．
例1定义一种变换：平移抛物线得到抛物线，使经过的顶点．设的对称轴分别交、于点、，点是点关于直线的对称点．
如图1，若：，经过变换后，，点是直线上的动点，求点到点的距离和到直线的距离之和的最小值．

图1图2
分析：如何找对称点进行变换是本题的难点，注意到点P是直线AC上的动点，所以直线AC就是对称轴，从而运用对称变换把线段PD转化为线段PB进行求解．
解：由已知易得A(1，2)、D（1+，3）、B(1+，1)
从而可知点B和点D关于直线AC对称，∴PD=PB
如图2，作BQ⊥AD,垂足为Q,根据“垂线段最短”可知线段BQ的长度就是所要求距离之和的最小值．BQ与AC的交点即为使得两个距离之和最小的P点．
由的面积关系得：·AD·BQ=·BD·AM
∴BQ=，故点到点的距离和到直线的距离之和的最小值为．
解题策略：在不改变线段长度的前提下，运用对称变换把对称轴同侧的两条线段放在了对称轴的两侧，把复杂的最值问题转化为基本问题．根据“两点之间线段最短”或“垂线段最短”把“两折线”转“直”，找出最小位置，并求出最小值．变换的奥秘是：动点在哪条直线上，就以这条直线为对称轴，构建某一定点的对称点．对称变换是转化的手段，也是解决问题的关键．
1.2平移变换的特征是对应线段平行且相等，它可以改变线段的位置却不改变其方向和长度．平移变换是把复杂的最值问题转化为基本问题的重要手段．
例2（人教版七年级（下）第五章造桥选址问题）如图3，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，造桥在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥MN要与河岸垂直）

图3图4（1）图4（2）
分析：假设河的两岸为直线、．这个问题要求“路径AMNB最短”实际上就是“AM+BN”最短（因为“桥要与河垂直”，桥长是定值，也就是河两岸的距离）．怎样保证“AM+BN”最短呢？如图4（1），把BN沿与河岸垂直的方向平移河的宽度到B′M（B为定点，则点B′为定点），则AM+BN=AM+B′M，点A、B′为定点，点M为直线上的动点，所以当A、M、B′三点在一直线上时，AM+B′M最小．
解：过点B作BB′⊥，且BB′等于河宽，连接AB′交于M点，作MN⊥交于点N，则MN就为桥所在位置（图4（2））．
解题策略：运用平移变换，在保持平移后的线段与原来的线段平行且相等的特性下，把无公共端点的两条线段移到新的位置并“接起来”，变换成更简单的基本图形．根据“两点之间线段最短”把“两折线”转“直”，找出最小位置．平移是转化的手段，也是解决问题的关键．
1.3旋转变换是把一个图形绕某个点旋转一个角度，其作用是不改变原有图形的性质，但改变其位置，使之组合成新的有利论证的图形．有些最值问题必须通过旋转变换才能转化成基本问题，旋转变换是解决最值难题的必不可少的手段之一．
例3如图5（1），已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长．
分析：本题已知三条线段的和最小，这三条线段又“碰”在一起，怎么利用这个条件成了本题的难点．注意到题中有正方形边长相等这样的有利条件，考虑通过旋转变换把三条线段“展开来”，然后再“接起来”成“三折线”，让折线的两端放在两个定点，这实际是费尔马问题的变形，只是背景不同．

图5（1）图5（2）图5（3）
解：如图5（2），连接AC，把△AEC绕点C顺时针旋转60°，得到△GFC，连接EF、BG、AG，可知△EFC、△AGC都是等边三角形，则EF=CE，又FG=AE，所以AE+BE+CE=BE+EF+FG．
∵点B、点G为定点（G为定点A绕定点C顺时针旋转60°所得），
∴线段BG即为点E到A、B、C三点的距离之和的最小值，此时E、F两点都在BG上（如图5（3））．
设正方形的边长为，那么BO=CO=，GC=,GO=
∴BG=BO+GO=+
∵点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，
∴+=，∴=2．
解题策略：通过旋转变换，改变线段的位置，优化图形的结构，把高难度的最值问题转化为“两点之间线段最短”的基本问题．使用这一方法解题时需注意图形旋转变换的基础，即存在相等的线段，一般地，当题目出现等腰三角形（等边三角形）、正方形条件时，可将图形作旋转60°或90°的几何变换，将不规则图形变为规则