33定积分的概念及运算讲义教材.ppt

§3.3定积分

要点梳理
1.用化归法计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为、、、
.2.定积分的定义
如果函数f(x)在区间［a,b］上连续，用分点将区间［a,b］等分成n个小区间，在每个小区间上任取
一点ξi(i=1,2,…,n)，作和式.当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间［a,b］上的定积分,记作,
即=,其中f(x)称为,
x称为,f(x)dx称为，［a,b］为
，a为，b为，“”称为积分号.3.的实质
（1）当f(x)在区间［a,b］上大于0时，表示
由
，这也是定积分的几何意义.
（2）当f(x)在区间［a,b］上小于0时，表示

.
(3)当f(x)在区间［a,b］上有正有负时，表
示介于x=a，x=b(a≠b)之间x轴之上、下相应的曲
边梯形的面积的代数和.6.利用牛顿——莱布尼兹公式求定积分的关键是
，可将基本初等函数的导数公式逆向使用.
7.定积分的简单应用
（1）求曲边梯形的面积
（2）匀变速运动的路程公式
做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间［a,b］上的定积分，即s=.(3)变力作功公式
一物体在变力F（x）（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向从x=a移动到x=b(a＜b)（单位：m),则力F所作的功为W=
.
基础自测
1.sinxdx等于 （ ）
A.0 B.2π C.π D.2
解析
=-cosπ-(-cos0)=1+1=2.
x2(x≥0)
2x(x＜0)，则f(x)dx的值是 （ ）
A.x2dx B.2xdx
C.x2dx+2xdx D.2xdx+x2dx
解析由分段函数的定义及积分运算的性质知：3.如图所示，函数y=-x2+2x+1与y=1相交形成一个闭合图形（图中的阴影部分），则该闭合图形的面积是 （ ）
A.1 B.
C. D.2
y=-x2+2x+1
y=1，
∴S=（-x2+2x+1-1）dx=（-x2+2x）dx
4.曲线y=cosx（0≤x≤)与坐标轴所围成的面积是 （ ）
A.2 B.3 C. D.4
解析如图所示，
5.有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为
（x）=x3（取细棒的一端为原点，所在直线为x
轴），棒长为1，则棒的质量M为 （）
A.1 B. C. D.
解析题型一利用微积分基本定理求定积分
【例1】(1)(x2+2x+1)dx;(2)(sinx-cosx)dx;
(3)（x-x2+）dx;(4)(cosx+ex)dx.
先由定积分的性质将其分解成各个简单函数的定积分,再利用微积分基本定理求解.
解(1)(x2+2x+1)dx
=x2dx+2xdx+1·dx
=探究提高计算一些简单的定积分，解题的步骤是：（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；（2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；（3）分别用求导公式找到一个相应的原函数；（4）利用牛顿——莱布尼兹公式求出各个定积分的值；（5）计算原始定积分的值.
计算f(x)dx的关键是找到满足F′(x)=f(x)的函数F（x）.其中F（x）可将基本初等函数的导数公式逆向使用得到.知能迁移1求下列函数的定积分.
(1)(4x3+3x2-x)dx;
(2)（e2x+）dx;
(3)sin2dx.
解（1）(4x3+3x2-x)dx
=(4x3)dx+(3x2)dx-xdx
=
=(24-0)+(23-0)-(22-0)
=16+8-2=22.题型二求分段函数的定积分
【例2】计算下列定积分.
（1）|sinx|dx;(2)|x2-1|dx.
对于第（1）小题，应对在区间［0，2π］上的正、负进行分情况计算；而对于第（2）小题，在0≤x≤2的条件下，对x2-1的正、负情况进行讨论.
解（1）∵（-cosx）′=sinx，
∴|sinx|dx=|sinx|dx+|sinx|dx

=-（cosπ-cos0）+（cos2π-cosπ）=4.x2-1(1＜x≤2)
1-x2(0≤x≤1)
∴|x2-1|dx=(1-x2)dx+(x2-1)dxx3 (0≤x≤1)
(1＜x≤4),
2x-14 (4＜x≤5)
在区间［0，5］上的定积分；
(2)求|3-2x|dx;
(3)求解（1）由定积分性质知
(3)当x∈[0,]时,
=|sinx-cosx|
-sinx+cosx（0≤x≤）
sinx-cosx（＜x≤）题型三求曲边梯形的面积
【例3】求由抛物线y=x2-1,直线x=2,y=0所围成的图形的面积.
画出图象→求出抛物线与x轴