第9讲 等差数列和等比数列(答案).doc

第9讲等差数列和等比数列（参考答案）
例1．解：由题意知，2b＝p＋c，2c＝q＋b，
由后二式得
，。
于是有，因为p≠q，故，
方程的判别式，因此方程无实根。故选A。
例2．解：（1），
又，又的等比中项为2，，
而，，
（2），，
为首项，－1为公差的等差数列。
，
；当；当，
最大。
例3．解：（Ⅰ）因为是等比数列，
当

上式等价于不等式组：①
或②
解①式得q>1；解②，由于n可为奇数、可为偶数，得－1<q<1.
综上，q的取值范围是
（Ⅱ）由得
于是
又∵>0且－1<<0或>0
当或时即
当且≠0时，即
当或=2时，即
例4．解（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛an｝是等比数列，则有a22=a1a3,即
矛盾.
所以｛an｝不是等比数列.
(Ⅱ)解：因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+21］=(-1)n+1(an-2n+14)
=(-1)n·（an-3n+21）=-bn
又b1=-(λ+18),所以
当λ＝－18，bn=0(n∈N+),此时｛bn｝不是等比数列：
当λ≠－18时，b1=—(λ+18)≠0,由上可知bn≠0，∴(n∈N+).
故当λ≠-18时，数列｛bn｝是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列.
例5．解：（1）设公差为，则，由性质得
，因为，所以，即，
又由得，解得，,

(2)（方法一）=,设，
则=,所以为8的约数

（方法二）因为为数列中的项，
故为整数，又由（1）知：为奇数，所以
经检验，符合题意的正整数只有。.
例6．解：由条件可知：，，解得：，
，数列的公比为，
，从而，，
求得：．
例7．解：（1）①当n=4时,中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。
若删去，则，即化简得，得
若删去，则，即化简得，得
综上，得或。
②当n=5时,中同样不可能删去，否则出现连续三项。
若删去，则，即化简得，因为，所以不能删去；
当n≥6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去也有，这与矛盾；若删去中任意一个，则必有，这与矛盾。(或者说：当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)
综上所述，。
（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列，其中（）为任意三项成等比数列，则，即，化简得（*）
由知，与同时为0或同时不为0
当与同时为0时，有与题设矛盾。
故与同时不为0，所以由（*）得
因为，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数。于是，对于任意的正整数，只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。例如n项数列1，，，……，满足要求。
例8．解：由条件易知两个二次方程与中，一个的两根为等比数列的第一、四项，而另一个的两根为第二、三两项，于是且，其中为该等比数列的首项。
由于，故，且

再利用在上为增函数，可得：
例9．解：设的公差为，的公比为，显然有．
因为，所以即，所以

若，则，因为，所以，
若，则，
若，则，所以，
综上可知，有．
说明：此题关键是将转化为
例10．解：设第一行数列公差为d，各列数列公比为q.因为2a43=a42+a44,
所以a44=2a43－a42=2×－=.又因为a44=a24·q2=q2,所以q=,于是有

解此方程组，得d=,a11=.
对于任意的1≤k≤n,有

课后巩固
1．答案：C【解析】由得得,再由得则,所以,.故选C
2．【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.选B。
3．【解析】由得，，则，，选C.
４．，
5．解：为等差数列，
6．，设公比为q，由已知条件知，
，由比例性质，
。
７．证明：（1）∵a、b、c依次成等差数列∴b－c＝－d，c－a＝2d，a－b＝－d（d≠0）代入①得：－d（logmx－2logmy+logmz）＝0
∵d≠0，∴，y2＝xz，可知x、y、z成等比数列．
（2）∵x、y、z依次成等比数列，，∴两边取对数，
得logmz－logmy＝logmy－logmx＝logmqlogmz－logmx＝2logmq
①式可变为a（logmz－logmy）－b（logmz－logmx）+c（logmy－logmx）＝0
即logmq（a－2b+c）＝0，∵logmq≠0，∴2b＝a+c，可知a、b、c成等差数列．
８．解:(Ⅰ)由知是方程的两根,注意到得得.
等比数列.的公比为,
(Ⅱ)
∵
数列是首相为3,公差为1的等差数列.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知数列是首相为3,公差为1的等差数列,有
……=……
=，
子,整理得,
解得.的最大值是7.
9．（I）解：设等差数列的公差为d.
由即d=1.
所以即
（II）证明因为，
所以

10．解：由已知，对任何n∈N，有
，
又因，故对