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数值计算方法教案----第六章数值微分与数值积分

第六章数值微分与数值积分

§1数值微分

教学目的与要求：

了解数值微分公式的构造方法，理解数值微分公式的产生过程，主要掌握差商型数值微分和插值型数值微分

公式及其应用。了解数值积分的基本思想；理解Newton-Cotes公式的产生过程；掌握梯形公式、Simpson公式与

Cotes公式及其误差估计，并能应用；重点掌握代数精度的定义与相关定理。

重点：数值积分；

难点：Newton-Cotes公式。

■教学内容：

一、差商型数值微分

求差商的近似公式通常有以下几种：
f()()x+h−fxf()()x−fx−h
（1）向前差商公式f'()x≈；（2）向后差商公式f'()x≈
hh
f()()x+h−fx−h
（3）中心差商公式f'()x≈其中h为步长。
2h
二、插值型数值微分

设已知函数在内有个节点处的函数值为，其插值多项式为
f()x[,]abn+1xi(i=0,1,L,n)yi=f()xi

nnx−x
，j，用的导数近似代替函数的导数，即()k()k
Ln()()x=∑yilixli()x=∏Ln()xf()()x≈Lnx
i=0j=0xi−xj
j≠i

f(n+1)()ξ
称为插值型求导公式，插值余项为R()()()x=fx−Lx=ω()x
nn(n+1)!n+1

例1求f()x=x分别取步长h=1,0.5,0.1,0.05,0.01,0.0005用中心差商公式计算f'(2)

1．两点数值微分公式（n=1）

２．三点数值微分公式
11
f'()x≈[−3f(x)+4f(x)−f(x)]；f'()x≈[−f(x)+f(x)]；
02h01212h02
1
f'()x≈[f(x)−4f(x)+3f(x)]
22h012
称为插值型计算导数的三点公式。其截断误差为
h3h2h3
R'()x=−f'''()ξ，R'()x=−f'''()ξ，R'()x=f'''()ξξ∈(,)ab(i=0,1,2)
203021612232i
3．二阶数值微分公式
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1
f''()''()x≈Lx=[f(x)−2f(x)+f(x)](i=0,1,2)这是三点公式。
i2ih2012
§2数值积分

一、数值积分的基本思想

bbnb
f()()()()xdx≈Lxdx=fxlxdx
∫∫aan∑k∫ak
i=0

bb
(x−x0)L(x−xk−1)(x−xk+1)L(x−xn)
Ak=lk()xdx=dx
∫a∫a(xk−x0)L(xk−xk−1)(xk−xk+1)L(xk−xn)

(n+1)
bnbf()ξ
误差为R[]()f=fxdx−Af()x=ω()xdx
n∫a∑kk∫an+1
k=0(n+1)!

二、牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）公式

1．一般公式等距节点插值型求积公式即N-C公式

2．特殊公式

（1）梯形求积公式：

1bb−a
当n=1时，CC(1)=(1)=，相应的求积公式为f()xdx≈[f(a)+f(b)]
012∫a2
（2）辛普森（Simpson）公式

141bb−ab−a
当n=2时，C(2)=，C(2)=，C(2)=，相应的求积公式为f()xdx≈[f(a)+4f()+f(b)]
061626∫a62
（3）柯特斯（Cotes）公式

bb−ab−a
当n=4时，f()xdx≈[7f(x)+32f(x)+12f(x)+32f(x)+7f(x)]式中，x=a+k，
∫a9001234k4

三、误差估计

1．求积公式的代数精度的定义

定义6.1

梯形公式具有一次代数精度。辛普森公式具有三次代数精度。

定理12n阶Newton-Cotes公式至少具有2n+1次代数精度。

2．梯形公式和Simpson公式的误差估计

定理2若f()x在区间[,]ab上二阶连续可导，则梯形公式的截断误差为

3
bb−a()b−a
R(f)=f(x)dx−[f(a)+f(b)]=−f′′(η),η∈(a,b)
1∫a212

定理3若f()x在区间[,]ab上四阶连续可导，则Simpson公式的截断误差为
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5
bb−a⎛a+b⎞()b−a4
R2()()f=fxdx−⎜f(a)+4f()()+fb⎟=−f()ηη∈(,)ab
∫a6⎝2⎠2880

关于柯特斯（Cotes）公式截断误差因为推导过程较繁，这里只给出结果：
2(b−a)b−a
R()f=−()()6f(6)ηη∈(a,b)
49454
1
例2分别用梯形公式与Simpson公式计算积分I=e−xdx的近似值并估计误差。
∫0

b93
例3设h=(b−a)/3