数值积分与数值微分.doc

第六章数值积分与数值微分
两种情形
①函数用表格形式给出的无法直接求积分或求导。
②函数的解析表达式结构复杂，不宜求积或求导。此时需研究数值方法、数值积分、数值微分。
6.0求积公式
——欲求(6.0-1)
1.求积公式与余项
已知f(xi)=fi，i=0，1，2，…，n
取(6.0-2)
称(6.0-2)为求积公式，其中Ai（i=0，1，2，…，n）为求积系数，只与节点x0，x1，…，xn有关，而与f无关，
称（6.0-3）
为求积公式(6.0-2)的余项或截断误差。
<特别>若Pn(x)为f的插值多项式，则称
为插值型求积公式。
2.代数精度
——刻划求积公式的优劣。——希望对尽可能多的函数能准确成立。
定义6.0-1若求积公式(6.0-2)满足：
①0km，
②
则称该求积公式具m次代数精度。
注：①若，则称求积公式对函数f能精确成立。
“m次代数精度”即对不超过m次的多项式余项为0，而m+1次则不能。
②求积公式是m次代数精度
0km，有但
<即有P418(6.0-4)成立>.
例1证明求积分公式是1次代数精度。
证明：<f=1>
<f=x>
但<f=x2>
所以求积公式具有1次代数精度。
例2设有求积公式
求A0，A1，A2，使其代数精度尽量高，并问此时求积公式的代数精度
解：（3个未知系数需三个方程）
令求积公式分别对f(x)=1、x、x2准确成立。即

解之得A0=A2=1/3，A1=4/3，即有。
又易知求积公式对f(x)=x3也准确成立：。
但
所以该求积公式具3次代数精度。
注：构造求积公式的方法很多，最直接的方法是作插值型求积公式。
6.1Newdon-Cotes求积公式
1.插值型求积公式
设Pn(x)为f的Lagrange插值多项式。

其中li(x)(i=0，1，2，…，n)为Lagrange插值基函数，求积系数为(6.1-2)
余项为（6.1-3）
.=
其中(a，b)依赖于x.
Th6.1-1n+1个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度。
证明：若f(x)为次数不大于n的多项式，则f(n+1)(x)=0，从而Rn(f)=0。即该求积公式至少是n次代数精度。
2.Newdon——Cotes公式
(1)定义<考虑等距节点的求积公式>
将[a，b]n等分，h=(b–a)/n为步长，节点为等分点，xk=a+kh，(k=0，1，2，…，n)
令x=a+th=>x–xk=(t–k)h.
.

其中(6.1-4)。
称Ci(n)为Cotes系数，称（6.1-5）
为n阶Newdou—Cotes求积公式
注：①Cotes系数Ci(n)只与n，i有关，与被积区间、被积函数均无关。〈可单独写出〉
②n=1，，
n=2，

其余见表(6.1-1)P422
(2)性质
①<在6.1-5中令f(x)1即得>
②
③n7时Ci(n)>0，n≥8时，不然。
(3)特例
n=1，(6.1-6)
称为梯形公式，具1次代数精度。
n=2，(6.1-7)
称为Simpson公式或抛物公式，具3次代数精度。
n=4，(6.1-8)
称为Cotes公式，具5次代数精度。
例1：分别用梯形，Simpson，Cotes公式求的近似值。
解：函数值：
x00.250.50.751f11/24/516/1716/25梯形：
Simpson：
Cotes：
准确值：0.785398163…
Th6.1-2当n为偶数时，n+1个节点的N-C公式，至少具有n+1次代数精度。
证明：不妨设n=2k，令f(x)=xn+1，则f(n+1)(x)=(n+1)!

=
<其中为u的奇函数，积分区间关于原点对称>
3.N-C公式的余项。
考虑
=
(1)梯形公式的余项R1(f)

因为f[x0，x1，x]C[a，b]，(x–a)(x–b)不变号，故由积分第二中值定理。
所以当C2[a，b]时有

=(6.1-11)
(2)Simpson公式的余项R2(f)

当C4[a，b]时有

记则(a)=(b)=0.
又由知

所以(x)>0.x[a，b]
从而

=
(3)Cotes公式余项R4(f)

例2：计算并估计截断误差<梯形，Simpson>

注：考虑到插值多项式的龙格现象，故很少用n较大的N-C公式
4.N-C公式的稳定性
——考虑计算时的舍入误差
因为Ck(n)与xk能准确，所以积分舍入误差来自于f(xk)=fk的计算。
设为f(xk)的计算值。k=–f(xk)，.
则
当n7时，Ck(n)>0.
所以：

当n≥8时，Ck(n)变号
则
将影响公式的稳定性，故一般实用的是低阶公式。
求积公式：
当n较大时，不能保证求积公式的数值稳定性。但当n较小时，代数精度较小，如何解决这一矛盾？
6.2复化