空间曲面与曲线(2)讲义资料.ppt

空间曲面与空间曲线1.球面2.柱面定义1由平行于定方向且与空间一条定曲线
相交的一族平行直线所产生的曲面叫做柱面,定
方向叫做柱面的方向,定曲线叫做柱面的准线,那
族平行直线中的每一条直线，都叫做柱面的母
线。
一般地,在三维空间3.锥面定义1通过一定点且与定曲线
相交的一族直线所产生的曲面
叫做锥面，这些直线都叫锥面
的母线，那个定点叫做柱面的
顶点，定曲线叫做锥面的准线。4.旋转曲面M1建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程:思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？例1.求坐标面xoz上的双曲线一般规律：当坐标平面上的曲线绕此坐标平
面里的一个坐标轴旋转时，为了求出这样的
旋转曲面的方程，只要将曲线在坐标面里的
方程保留和旋转轴同名的坐标，而以其它两
个坐标平方和方根来代替方程中的另一坐标。
例2将椭圆解：因为旋转轴是x轴，同名坐标是x，在方程这叫扁形旋转椭球面。绕虚轴（即z轴）旋转的旋转曲面方程为双叶旋转双曲面例4将抛物线旋转曲面方程为环面5.二次曲面一、椭球面（1）对称性
当(x,y,z)满足方程时，(-x,y,z)也满足方程。这
说明，若点P(x,y,z)是椭球面上的点，则点P的
关于yOz坐标平面的对称点P′(-x,y,z)也在椭
球面上，所以，坐标平面yOz是对称平面，称
为主平面。同样，其它两个坐标平面都是主平
面。
若点P(x,y,z)在椭球面上，则点(x,-y,-z)也在椭
球面上，即x轴为椭球面的对称轴，称为主轴。同样，y轴和z轴也是椭球面的主轴。
若点P(x,y,z)在椭球面上，则点(-x,-y,-z)也在椭
球面上，所以，原点是椭球面的对称中心，称
为椭球面的中心。
（2）范围
对于椭球面上任一点(x,y,z),满足方程因此，椭球面完全被封闭在一个长方体的内部，
这个长方体由六个平面：x=±a,y=±b,z=±c所
组成。
（3）与各坐标轴的交点和与各坐标平面的交线
在椭球面的方程中，令y=z=0,得椭球面与x轴的
交点A(a,0,0)和A′(-a,0,0);同样，椭球面与y轴的交点B(0,b,0)和B′(0,-b,0)
椭球面与z轴的交点C(0,0,c)和C′(0,0,-c).
椭球面与三个坐标平面的交线分别为这些椭圆(1),(2),(3)叫做椭球面的主截线（或主
椭圆）。（4）为进一步了示面解曲面的形状，用一组平
行于某个坐标平面的平行平面去截这个曲面，
得到一组交线称为截口曲线（简称截口）。
通过这组平行平面上的截口（简称为平行截口）
的形状来分析曲面的大体形状，这种方法称为
截割法。
用平行于xOy坐标平面z=h(|h|≤c)截椭球面，截
口为当|h|=c时，截口是平面z=h上的一个点(0,0,c)或
(0,0,-c);
当|h|<c时，截口是一椭圆，它的两半轴分别为椭球面的参数方程二、双曲面（2）与坐标轴的交点、与坐标平面的交线
与z轴不相交，称z轴为虚轴，与x轴与y轴分别
交于点(±a,0,0)与(0,±b,0)
这四个点叫做单叶双曲面的顶点。
如果用三个坐标平面z=0,y=0,x=0分别截割曲面
那么所得的截线顺次为（1）为xOy平面上的椭圆，叫做单叶双曲面的
腰椭圆；（2）与（3）分别是xOz面与yOz面上
的双曲线，这两条双曲线有着共同的虚轴与虚
轴长。x两轴的端点分别是如果用平行于xOz平面y=h来截单叶双曲面，截
线的方程为（11）当|h|>b时，截线（5）仍为双曲线，但它的实
轴平行于z轴，实半轴长为当|h|=b时，（5）变成如果用平行于yOz的平面来截割单叶双曲面，则
它与用平行于xOz的平面来截割所得结果完全类
似。
如果a=b,则成为单叶旋转双曲面。
方程（二）双叶双曲面
在直角坐标系下，由方程坐标原点都对称，曲面与x轴y轴不相交，只与
z轴相交于两点(0,0,±c),这两点叫做双叶双曲
面的顶点。
由曲面的方程，曲面上
的点恒有z2≥c2.因此，
曲面分成两叶：
z≥c与z≤-c.坐标平面z=0与曲面不相交，
而坐标平面y=0与x=0与曲面分别交两条双曲
线：当h=c时，截得的图形为一点，当h>c时，截线
为椭圆，它的两半轴是三、抛物面原点(0,0,0),这点椭圆抛物面的顶点。
从方程知这两条抛物线叫做椭圆抛物面的主抛物线。它
们有着相同的轴和相同的开口方向，即开口方
与z轴的正向一致。
用坐标平面xOy来截曲面只得到一点(0,0,0),
用平行于xOy面的平面
z=h(h>0)来截曲面，截线
总是椭圆
这个椭圆的两对顶点分别为椭圆抛物面
（主抛物线）如果用平行于xOz面的平面y=t截割椭圆抛物面
得抛物线因此得到：
如果取两个这样的抛物线，它们所在的平面互
相垂直，它们的顶点和轴都重合，而且两抛物
线有相同的开口方向，让其中一条抛物线平行
于自己（即与抛物线