飞越北极的数学模型.pdf

第31卷第1期数学的实践与认识Vol131No11
2001年1月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYJan.2001

飞越北极的数学模型

钟绍军,骆凤银,王国刚
指导老师:数模组

(黄冈师范学院,黄冈438000)

编者按:本文为这次竞赛中C题的优秀答卷之一.在将地球视为旋转球体时,论文给出了多种近似计算
旋转椭球面上两点之间短程线的方法,其中的模拟搜索法有一定的新意.论文对模型的验证做得很好.在将
地球近似作为球体的情况,用互联网上获得的数据与模型的计算结果进行了对照检验.在将地球近似为旋转
椭球体的情形又用数学软件中求近似测地线的程序的计算结果对模型计算结果进行了检验,这是值得提倡的.
摘要:本文针对扬子晚报提出的飞机飞越北极的最节时航线问题作了详尽、细致、深入的分析,从而验证
了在将地球考虑为球体和椭球体两种情况下,“飞机从北京直飞到底律特要节省4小时”的结论.文中利用微
分几何的知识建立了合理解释该报道的数学模型,解决了空间任意两点间的曲面最短距离的算法问题,同时
又阐述了求曲面上两点之间的最短距离(特别是椭球面)的近似计算方法:压缩比率法、曲线射影法和模拟搜
索法.另外,本文针对空间曲面上的最短程问题所建立的数学模型可以求解出地球上任意两点间的最短距
离,具有很强的推广性.
关键词:数学模型;测地线;压缩比率法;曲线射影法;模拟搜索法

1问题的提出(略)

2问题的分析
首先分析当地球是一个半径为R的均匀球体时的情况.先在曲面上建立直角坐标系,
以地心为坐标原点O,以赤道平面为XOY平面,以0度经线(即本初子午线)圈所在的平面
为XOZ平面.那么,我们就可以写出球面的参数方程如下:
X=RcosUcosH
y=RcosUsinH(0≤H≤2P,0≤U≤P)(1)
z=RsinU

根据解析几何的基础知识可以解出球面上任意两点P1,P2间的圆心角∠P1OP2的度
数.由微分几何的知识可知道,球面上任意两点(不是一条直径的两个端点)之间的最小距离
就是过这两点的大圆(即经过球心的圆)的劣弧长.根据这一方法,我们就可以确定任意两点
之间的飞行最短航线.
再来分析一下地球为旋转椭球体时的情形,这比球体的情况要复杂得多.我们无法确定
在未改变航道时的情况下飞机的最短航线,也无法确定球面上任意两点之间的测地线方程.
但是,我们可以假定椭球面上任意两点A、B之间的测地线在通过A、B两点的一个平面内.
因此,我们可以写出过直线AB的平面族(含一个参数).下面就要求出过直线AB的平面与
椭球面的交线.我们可以利用解析几何知识来完成这些工作.最后我们就可以利用搜索的方
法求出交线上A、B两点之间的劣弧长.然后求出弧长的最小值.在本文后面的模型建立和
求解过程中有该法的详细解答过程.
1期钟绍军等:飞越北极的数学模型99

对于椭球面上任意两点的最短曲面距离的求解,目前还没有精确的方法,但从问题的可
行性出发,我们采用了近似计算的方法,运用数学类推的思想,在球体的基础上进行类推,算
出旋转椭球面上两点之间的最短距离.在后面的求解过程中我们给出了详细的解答过程.

3问题的假设
1)飞机从机场起飞与降落过程的时间忽略不计.飞机从A地到B地的飞行时间只考虑
A地上空(10千米高度)和B地上空(10千米高度)两点之间的测地线长;
2)飞机在飞行过程中,途经各站起飞、降落及中途加油和等待调度所用的时间均忽略不计;
3)飞机总在地球的引力场内飞行,而地球的自转和公转对飞机的绝对飞行速度和大小
的影响忽略不计,飞机的飞行速度只考虑飞机相对于地球的速度;

4)飞机的航线始终满足最短路线原则.即飞机从Ai站到Aj站的航线是曲面上点Ai与

Aj之间的最短路线,即飞机从一目的地到另一目的地不绕道飞行的路线;
5)飞机飞行过程中的飞行速度保持不变.

4符号的说明

(xi,yi,zi)球面(或椭球面)上的点Ai的三维直角坐标;

(Hi,Ui)球面(或椭球面)上的点Ai的经度与纬度;
t飞机的飞行时间;
$t飞机飞行所节省的时间;

li城市Ai与Ai+1之间的最短路程;

l总飞机分段飞行路程相加的总路程;
R地球半径;
h飞机飞行高度;
(a,b)旋转椭球体的长半轴与短半轴;

ri城市Ai离地心的距离(即径长);

5模型的建立
基于以上对问题的详细分析,我们可以建立以下的数学模型来验证“从北京至底特律可
节省4小时”的结论.
情形一、假设地球是半径为6371公里的球体
此时A、B是地球上空相距地面10公里的两点,由微分几何知识我们可以知道:过A、B
两点的大圆的劣弧长即为两点的最短距离,A、B两点的坐标分别为:

A((R+h)cosH1cosU1,(R+h)sinH1cosU1,(R+h)sinU1)

B