2000年C题飞越北极_的数学模型.pdf

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第31卷第1期数学的实践与认识Vol131No11
2001年1月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYJan.2001

MathematicalModelforFlyingAcrosstheNorthPole

ZHONGShao2jun,LUOFeng2yin,WANGGuo2gang

(HuanggangTeachers′College,Huanggang438000)

Abstract:BycarefullyanalysingwegiveadefiniteanswertothequestionposedinYangZi
NightNewsthatthetimeforflyingfromBeijingtoDetroitwillbefourhoursshorterifthe
planecanflyacrosstheNorthPole.Areasonablymathematicalmadelisframedinbothcases
thattheearthisasphereoranellipsoid.Wealsogiveanalgorithmforfindingtheshortest
distancebetweentwopointsinasurface(especiallyinanellipsoid).Twoapproximate
algorithms,constrictionratiomethodandimitatingsearchmethod,areadded.

“飞越北极”的数学模型

仲银花,李利军,张琴
指导老师:数模教练组

(连云港化工高等专科学校,连云港222001)

编者按:本文对视地球为椭球的情况采用了测量学中的贝塞尔方法和用积分计算弧长的方法,针对地球
扁率很小的特点对积分求弧长给出了一个方便的近似公式,使计算大为简化,这是本文的一个特点.在处理
实际问题时,在满足一定精度的前提下,合理地作简化近似可以用较少的计算达到预期的目的.本文的另一
个特点是对大地纬度和归化纬度的关系交待很清楚,反映了同学查阅背景材料是出色的.
摘要:本文将“飞行时间节约4小时”的问题,在飞行速度恒定的条件下,转化为计算飞机航程的问题.根
据题目的要求建立两个模型.在球体模型É中,利用几何知识推出飞机航程和经纬度之间的直接关系,进而
算得飞行节约的时间为410504小时.在旋转椭球体模型Ê中,解法É利用测量学中的贝赛尔方法,给出了
飞机航程的近似计算公式,算得飞行节约的时间为41041小时.解法Ê则构造了一个简单的弧长作为两地
间的近似航程,利用积分给出了弧长的精确计算公式和近似计算公式,算得飞行节约的时间分别为410535
小时和410531小时.这些结果解释了原题中“节约4小时”的估计.

1问题的提出(略)

2模型的假设
11不考虑地球的自转.
21飞机每经相邻两地的航程,均以曲面上两点间最短距离进行计算.
31飞机飞行中途不需降落加油,同时忽略升降时间.
601数学的实践与认识31卷

41开辟新航线后,飞机由北京经过北极上空直飞底特律.

3数据的说明

在以下计算中,北京的坐标用A0(40°,116°),底特律的坐标用A11(43°,83°),飞机原航
线途中站点经纬度用表1的数据.

4模型的建立与求解
模型É:地球是半径为6371千米的球体.(略)
模型Ê:地球是一旋转椭球体,赤道半径为6378千米,子午线短半轴为6357千米.
几个基本概念:
(1)大地经度:如图1,P点的子午面NPS与NGS起始子午面所构成的二面角L.

(2)大地纬度:如图1,P点的法线Pn与赤道面的夹角B.
(3)归化纬度:如图2,把点P上的y线向上延伸,与以a为半径的大圆弧AN′相交于
P′,则OP′与X轴夹角叫归化纬度.
(4)大地线:椭球面上两点间的最短曲线.

图1图2

解法É:
在控制测量学中,常使用归化纬度计算两已知点之间的大地线长度.
(1)归化纬度与大地纬度的转化
x2y2
如图2,P点所在子午椭圆的方程式为2+2=1.由上式求导,得
ab
dyb2x
=-,(1)
dxa2y
曲线在点P处的一阶导数就是该处切线的斜率,即
dy
=tan(90°+B)=-cotB(2)
dx
yb2
由(1)、(2)两式得:=2tanB,由椭圆的几何作图原理知,图2中,OP′=a,OP″=b.于是
xa
1期仲银花等:“飞越北极”的数学模型701

x=OP′cosu=acosu
.
y=OP″sinu=bsinu
yb2ayb
代入=2tanB得:tanu==tanB.所以归化纬度与大地纬度的关系为
xabxa
b
tanu=tanB(3)
a
(