向量的概念及向量的表示.ppt

§1向量的概念及向量的表示3.自由向量1、向量加法2.向量加法的运算规律.3.向量减法.平行四边形法则.1.定义结论:设表示与非零向量同向的单位向量.例1:在平行四边形ABCD中,设AB=,AD=1.点在轴上投影2.向量在轴上的投影.如果向量e为与轴u的正方向的单位向量，3.两向量的夹角4.向量的投影性质.定理3:两个向量的和在轴u上的投影等于两个向量在
该轴上的投影的和。即二.空间直角坐标系与空间向量的坐标表示2.坐标面.1.点在空间直角坐标系中的坐标表示.(1)若点M在yz面上,则x=0;
在zx面上,则y=0;
在xy面上,则z=0.2.空间向量的坐标表示z(2).起点不在原点O的任一向量a=M1M2a=M1M2=(x2x1,y2y1,z2z1)(3).运算性质(4)两向量平行的充要条件.1.方向角:非零向量a与x,y,z轴正向夹角,,称为a的方向角.又：由(5)式可得例2.已知两点M1(2,2,)和M2(1,3,0).计算向量M1M2的模,方向余弦和方向角.例3:在z轴上求与两点A(4,1,7)和B(3,5,2)等距离的点.例4证明以M1(4,3,1),M2(7,1,2),M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.§2向量的数量积.向量积及混合积设有两个向量a、b,它们的夹角为,注1:当a0时,|b|cos=Prjab(1)交换律ab=ba证:必要性:设ab,如图,利用数量积证明三角形的余弦定理3.数量积的坐标表示式推论:两个非零向量4.数量积在几何中的应用(2)求两向量a,b的夹角已知三点M(1,1,1),A(2,2,1)和B(2,1,2),求AMB.由力学规定:力F对支点O的力矩是一个向量M.向量积的性质必要性:设a、b平行,则=0或=.于是例如:2、向量积的坐标表示式得公式:求垂直于向量a=(2,2,1)和b=(4,5,3)的向量c.已知ABC的顶点分别是A(1,2,3),B(3,4,5),C(2,4,7),求ABC的面积.三、两向量的混和积则有混合积性质：事实上，
若,,在同一个平面上，
则垂直于它们所在的平面，
故垂直于,即混合积()的绝对值等于以,,为棱的平行六面体的体积V的数值。例5:所以，