函数极限的概念.doc

§1函数极限的概念
教学目的：通过本次课的学习，使学生掌握函数极限的概念并能熟练应用概念解决相关问题。
教学方式：讲授。
教学过程：
一趋于时函数的极限
设函数定义在上，类似于数列的情形，我们研究当自变量趋于时，对应的函数值能否无限的接近于某个定数。一般地，当趋于时函数极限的精确定义如下：
定义1设是定义在上的函数，为定数。若对任给的，存在正数，使得当时有
，
则称函数当趋于时以为极限，记作
或
说明：（1）定义1中的正数的作用与数列极限定义中的相类似，表明充分大的程度；但这里所考虑的是比大的所有实数，而不仅仅是数列极限中的正整数。在利用定义1证明函数极限时，是需要我们寻找的可以和相关的正数。
（2）定义1的几何意义是：对任给的，存在正数使得在直线的右方，曲线全部落在由平行于轴的两条直线和所围成的带形区域内。如果给得小一点，那么直线一般要向右平移，但无论如何小，总存在使得在直线的右方，曲线全部落在由平行于轴的两条直线和所围成的带形区域内。
（3）学生还应该掌握定义1的否命题（让学生自己动手，老师加以点评）。
（4）让学生自己动手写出当趋于时或当趋于时函数极限的精确定义。并特别强调这三个定义的异同，并说明应用时的区别和注意事项。

下面通过具体例子说明如何应用定义解决相关问题。例1、例2见教材（略讲），补充讲例3。
证明。
证，由于当时有

故取，则当时，必有。所以。
说明：通过教材的例1、例2，以及上述例3的学习，我们可以总结出利用定义证明函数极限的一般方法：对任给的，通过不等式反解出（或x），进而找到满足条件的正数，证明结论。

二趋于时函数的极限
定义2（函数极限的定义）设函数在点的某个空心邻域内有定义，为定数。若对任给的，存在正数，使得当时有
，
则称函数当趋于时以为极限，记作
或

说明：（1）关于函数极限的定义的注意事项见教材p45。
（2）学生在应用定义验证这种类型的函数极限时，具体方法是：对任给的，通过不等式反解出，进而找到满足条件的，证明结论。
（3）学生还应该掌握函数极限的定义的否命题，并能应用否命题解决问题。
下面举例说明如何应用定义来验证这种类型的函数极限，并要求学生特别注意以下各例中的值是如何确定的。

例4、例5（即教材上的例3、例4）见教材。
例6证明。
证：当时有
。
若限制于（此时），则。于是，对任给的，只要取，则当时，便有
。
注意：例6是证明当趋于1时函数的极限，故限制于是合理的。特别地，当验证趋于时函数的极限时，如果需要可限制为给定正数），以便于反解出，进而找到满足条件的。
课后作业：习题第一大题的1、2、3小题；习题的第三大题。