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高中般学教与学2014年

数列中不定方程的处理策略

孙春生肖爱国

(江西省吉水中学，331600)(江西省吉水三中，331600)

判断数列中某三项是否成等差数列或等2g一≤2q<1，1+q>1．
比数列问题，是一类常考常新的问题．此类问故上述()式中等号不成立，假设不成
题常假设满足条件的三项存在，再由假设结立，因此数列{a}中不存在3项成等差数列．
合已知条件进行推证．如果推证过程没有矛评注此种题型常由假设得到关于正整
盾，则假设成立，满足条件的三项可求出来；数的不定方程．在本例的解答过程中，我们通
如果推理过程中出现矛盾，则假设错误，符合过左右两边同时除以q“得到2q一=1+
条件的三项不存在．在解答过程中，利用等差q，将3个变量化为2个变量，这种降维处理
中项或等比中项定义，能较易得出关于正整方法为利用不等式性质创造了条件．
数的不定方程，难点在于选择合理的方法处二、利用整除性质
理不定方程，得出正确的结论．而处理不定方例2设数列{c}的通项公式为c=
程的策略主要有利用不等式的性质、整除性
质、等式左右两侧奇偶性、数列的单调性和函亍(n∈N‘)，问：是否存在正整数￡和
数值域及利用有理数的性质等策略．本文结k(k≥3)，使得C。，C：，c^成等差数列?若存在，
合具体实例说明如下．请求出所有符合条件的有序整数对(t，J})；若

一
、利用不等式性质不存在，请说明理由．
例1已知各项为正数的等比数列{}

'解由c=亍，要使c-~C29Ck成
的公比为g，且0<q<1，在数列{口}中是否
‘等差数列，应有2c：=c，+c，即
存在3项，使其成等差数列?若存在，请求出所6l2一1
i__+—，
有满足条件的3项；若不存在，请说明理由．

1
解由口>0，0<q<it知，{n}是递化简得k=3+t唧．
厶
减数列．因为后与t都是正整数，所以t只能取2，3，
假设存在3项a，a，成等差数列，不妨5．
设．i}<tn<n，则当t：2时，=7；当t=3时，JI}=5；当t
2a：n+aI，=5时，k=4．
且p2alq一’=aIq‘一。+aI口“。，综上可知，存在符合条件的正整数t和k，

2q一q一。+q一所有符合条件的有序整数对(t，)为(2，7)，
．
左右两边同时除以q扣‘，得(3，5)，(5，4)．
2q=1+q‘．(})评注本例通过假设得出参数t和k的

l关系式并不难，难在处理关于正整数t和k(k
由0<q<÷，知
二≥3)的不定方程时，要想到利用整数的整除

·10·
第6朝高中数学教与学

性的方法．(1)求数列{口}的通项fl及前n项和S；
三、利用奇偶数性质
(2)设b=(∈N)，求证：数列{b}
例3已知数列{。}满足
中任意三项都不可能成为等比数列．
rt=l,
分析第(2)问可利用等比中项得到关
⋯
l寻·4“～，2．于这三项项数之间的等量关系，由于在等量
关系中有一个无理数，因此可根据有理数
试问数列{ol中是否存在3项构成等差
的性质，将方程转化为方程组问题，为导出矛
数列?若存在，请求出此3项；若不存在，请说
盾提供有利条件．
明理由．
解(1)口=2n一1+√2，S=n(n+
分析本例中所给的通项摄一个分段形
式，因此，需要考虑所求的3项是否包含首项．√2)(过程略)．

解假设数列{o}中存在3珂i，。(2)由(1)得b==n+．假设数列
成等差数列．
①不妨设m>k>P≥2，因为当2{b}中存在3项b，b，br(p>q>r)成等比
时，数列{a}单凋递增，所以2口I=+，数列，则b：=bpb，，即
即2．寻．4：3．．4—2+寻4，(q+)=(p+)(r+)，
整理得(q一pr)+(2q—P—r)=0．
化简得2·4=4一+l，q2-pr=O
,
即22七一却“=2m-+1．因为p，g．，∈N‘，所以
．

一。．
若此式成立，注意到左边为偶数，必有
2m一2p=0，且2Il}一2p+1蔫1，消去q，得p，=()，即(p—r)=0，
得m=P=k，和题设矛盾．所以P=r，这与P≠r相矛盾．
②假设存在成等差数列的3项中包含因此，数列{b}中任意3项都不可能成为
Ⅱ．．不妨设m=1，五>p2，且>，则等比数列．
2口l+。^，评注本例在推导过程中，有3个参数
2．寻．4z：一争+寻．4h。，两个等式，因此通过减元思想，将问题变为两
个变量之间的等量关系，可方便问题的处理．

·

．．2．4p一=一2+4，即2却=2舶一1．
五、利用数列的单调性
因为k>P≥2，2仅p=2时为奇数，例5已知数列{a}的前n项和为s，且
所以，上式当且仅当3且p嚣2时成立，02=1，口=2S．
因此，数列{}中存在。、口口，或、(1)求数列{口l的通项公式；
n、n。成等差数列．
(2)设lgb