数列中不定方程问题的几种解题策略.doc

数列中不定方程问题的几种解题策略
王海东
(江苏省丹阳市第五中学,212300)
数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，在高考中占有极其重要的地位．数列中不定方程的整数解问题逐渐成为一个新的热点,在近年来的高考模拟卷中，这类问题屡见不鲜,本文中的例题也都是近年来大市模考题的改编．本文试图对与数列有关的不定方程的整数解问题的解法作初步的探讨,以期给同学们的学习带来帮助.
题型一：二元不定方程双变量的不定方程,在高中阶段主要是求出此类不定方程的整数解,方法较灵活,下面介绍3种常用的方法。
方法1。因式分解法:先将不定方程两边的数分解为质因数的乘积,多项式分解为若干个因式的乘积，再由题意分类讨论求解．
题１（201４·浙江卷）已知等差数列的公差d>0。设的前项和为，,。(１)求ｄ及Sn；(2）求m，k(m，k∈Ｎ*)的值，使得。
解析（1）略（2）由（１)得(n∈N＊)

所以，由m，k∈N*知
,故所以
点评本题中将不定方程变形为，因为分解方式是唯一的,所以可以得到关于的二元一次方程组求解.
方法２.利用整除性质在二元不定方程中,当其中一个变量很好分离时，可分离变量后利用整除性质解决.
题2．设数列的通项公式为，问:是否存在正整数t,使得成等差数列?若存在,求出t和ｍ的值;若不存在,请说明理由．
解析:要使得成等差数列，则
即:即：
∵,∴只能取２,3，５当时，;当时，;当时,．
点评本题利用表示从而由得到是整数，于是是４的约数，从而估计出可能的所有取值,再逐一检验即可,当然,本题也可以利用表示来处理.
方法3．不等式估计法:利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围或等式一边的范围，再分别求解。如转化为型,利用的上界或下界来估计的范围，通过解不等式得出的范围,再一一验证即可。
题3：已知，试问是否存在正整数(其中）,使成等比数列?若存在，求出所有满足条件的数组(ｐ，ｑ）;若不存在,说明理由.
解析:假设存在正整数数组(p,q),使成等比数列,则．
时,＜0，故数列{}（)为递减数列,
,且数列{｝（）为递减数列,
当时,成立;当时，,
因此,由得，,此时
点评：本题利用等式右边的上界来估算左边的范围，解时,我们是构造函数再由其单调性得出整数解.
题型二:三元不定方程
一个方程中三个未知量，在高中通常判定此类不定方程是否有解，通常都是假设存在满足题意的三个变量，再用反证法证明不成立.反证法中如何找出矛盾,以下两种方法比较常用．
1.等式两边的奇偶性分析法
题４．已知,是否存在互不相同的正整数,使得成等比数列？若存在,给出满足的条件；若不存在，说明理由。
解析：若存在成等比数列,则
由奇偶性知右边为奇数，当且仅当时，左边也为偶数，
所以，即,这与矛盾．
故不存在互不相同的正整数,使得成等比数列
点评:本题中等式要是成立，左右两边的奇偶性要相同,右边为奇数,左边只有当等式才为奇数,所以用进一步代入进行求解。
题5。已知，证明中任意三项不可能构成等差数列。
解析：假设中存在三项构成等差数列,
则,，等式两边同除以,得
因为等式左边为偶数，右边为奇数,矛盾.
∴假设不成立,故不存在任意三项能构成等差数列
题6。已知,证明中任意三项不可能构成等差数列。
解析：假设中存在三项构成等差数列，
则,,等式两边同乘以,得
，等式两边再同除以，得
因为等式左边为偶数，右边为奇数，矛盾．
∴假设不成立，故不存在任意三项能构成等差数列
点评题５和题6都是用反证法证明不存在满足题意的三项,考试中常见此题型，放在一起便于比较,题５中化简时，等式两边同除以,中的最小值,题6中化简时,等式两边同乘以中的最大值,将分数整数化,然后利用奇偶性寻找矛盾．
二．等式两边是有理数或无理数分析
题7．已知,求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数例。
解析:假设数列中存在三项(为互不相等的正整数）成等比数列，则.
即.

,
.
与矛盾.
所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列.
点评在反证法中利用有理数性质产生矛盾．若,则等式化为,等式左边为无理数,右边为有理数，矛盾。
题8（选修2—2教材P84第9题）证明：1，,3不可能是一个等差数列中的三项.
解析：假设1，，3是某一公差为的等差数列的三项,则有。由上两式消去，得，易见上式左边为有理数,右边为无理数，故等式不能成立。所以1,,3不可能是等差数列的三项。
点评：书本中的每个习题都要重视,是命题的来源,下面的这个高考题中就可以找到题7，题８的影子.
题9(2008江苏第19题改编)求证:对于给定的正整数（)，存在一个各项及公差均不为零的等差数列,其中任意三项（按原来的顺序)都不能组成等比数列．
解析：假设对于某个正整数n,存在一个公差为d的n项等差数列,其中（）为任意三项成等比数列,则,即,化简得(*