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专题限时集训(十四)[第14讲空间向量与立体几何] (时间:10分钟+35分钟) 1.已知向量{a,b,c}是空间的一基底,向量{a+b,a-b,c}是空间的另一基底,一向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),则向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标是() A.(4,0,3)B.(3,1,3) C.(1,2,3)D.(2,1,3) 2.对于空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,有eq\o(OP,\s\up6(→))=xeq\o(OA,\s\up6(→))+yeq\o(OB,\s\up6(→))+zeq\o(OC,\s\up6(→))(x,y,z∈R),则x=2,y=-3,z=2是P,A,B,C四点共面的() A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.在空间直角坐标系中,点M(5,1,-2)关于xOz面的对称点坐标为________. 4.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件(c-a)·(2b)=-2,则x=________. 1.平面α的一个法向量n=(1,-1,0),则y轴与平面α所成的角的大小为() A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4) C.eq\f(π,3)D.eq\f(3π,4) 2.平面α,β的法向量分别是n1=(1,1,1),n2=(-1,0,-1),则平面α,β所成角的余弦值是() A.eq\f(\r(3),3)B.-eq\f(\r(3),3) C.eq\f(\r(6),3)D.-eq\f(\r(6),3) 3.点M在z轴上,它与经过坐标原点且方向向量为s=(1,-1,1)的直线l的距离为eq\r(6),则点M的坐标是() A.(0,0,±2)B.(0,0,±3) C.(0,0,±eq\r(3))D.(0,0,±1) 4.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为正方体内一动点(包括表面),若eq\o(AP,\s\up6(→))=xeq\o(AB,\s\up6(→))+yeq\o(AD,\s\up6(→))+zeq\o(AA1,\s\up6(→)),且0≤x≤y≤z≤1.则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是() A.1B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,6) 5.平面α经过点A(0,0,2)且一个法向量n=(1,-1,-1),则x轴与平面α的交点坐标是________. 6.如图14-1,在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,点M是线段DC1上的动点,则点M到直线AD1距离的最小值是________. 图14-1 7.如图14-2,三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,AC=BC=2,A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,又知BA1⊥AC1. (1)求证:AC1⊥平面A1BC; (2)求二面角A-A1B-C的余弦值. 图14-2 8.如图14-3,在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,BD交AC于点E,F是PC中点,G为AC上一点. (1)求证:BD⊥FG; (2)确定点G在线段AC上的位置,使FG∥平面PBD,并说明理由; (3)当二面角B-PC-D的大小为eq\f(2π,3)时,求PC与底面ABCD所成角的正切值. 图14-3 专题限时集训(十四) 【基础演练】 1.B【解析】设p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),则p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,又p=4a+2b+3c,故(x+y)a+(x-y)b+zc=4a+2b+3c,由于a,b,c不共面,根据平面向量基本定理得x+y=4,x-y=2,z=3,即x=3,y=1,z=3,即p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标是(3,1,3). 2.B【解析】当x=2,y=-3,z=2时,即eq\o(OP,\s\up6(→))=2eq\o(OA,\s\up6(→))-3eq\o(OB,\s\up6(→))+2eq\o(OC,\s\up6(→)),则eq\o(AP,\s\up6(→))-eq\o(AO,\s\up6(→))=2eq\o(OA,\s\up6(→))-3(eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\o(AO,\s\up6(→)))+2(eq\o(AC,\s\up6(→))-eq\o(AO,\s\up6(→))