2020版高考数学二轮复习专题限时集训8空间向量与立体几何理20191211248.doc

-1-专题限时集训(八)空间向量与立体几何[专题通关练](建议用时：20分钟)1．(2019·泰安一模)在直三棱柱ABC­A1B1C1，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝AC＝CC1＝1，则AN与BM所成角的余弦值为()A.eq\f(1,10)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(2,5)D.eq\f(\r(30),10)D[建立如图所示的空间直角坐标系：则A(1,0,0)，B(0,1,0)，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，1))，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))，∴eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，1))，eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)，1))，cos〈eq\o(AN,\s\up7(→))，eq\o(BM,\s\up7(→))〉＝eq\f(\o(AN,\s\up7(→))·\o(BM,\s\up7(→)),|\o(AN,\s\up7(→))||\o(BM,\s\up7(→))|)＝eq\f(－\f(1,2)×\f(1,2)＋1,\r(\f(1,4)＋0＋1)×\r(\f(1,4)＋\f(1,4)＋1))＝eq\f(\f(3,4),\f(\r(5),2)×\f(\r(6),2))＝eq\f(\r(30),10).故选D.]2．二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝2，AC＝3，BD＝4，CD＝eq\r(17)，则该二面角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．120°C[由已知可得eq\o(CA,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0，eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BD,\s\up7(→))＝0，如图，eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))，∴|eq\o(CD,\s\up7(→))|2＝(eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→)))2＝|eq\o(CA,\s\up7(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up7(→))|2＋|eq\o(BD,\s\up7(→))|2＋2eq\o(CA,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＋2eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BD,\s\up7(→))＋2eq\o(CA,\s\up7(→))·eq\o(BD,\s\up7(→))＝32＋22＋42＋2×3×4cos〈eq\o(CA,\s\up7(→))，eq\o(BD,\s\up7(→))〉＝(eq\r(17))2，∴cos〈eq\o(CA,\s\up7(→))，eq\o(BD,\s\up7(→))〉＝－eq\f(1,2)，即〈eq\o(CA,\s\up7(→))，eq\o(BD,\s\up7(→))〉＝120°，∴所求二面角的大小为60°，故选C.]3．(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为()A．8B．6eq\r(2)C．8eq\r(2)D．8eq\r(3)C[在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB⊥平面BCC1B1，连接BC1，AC1，则∠AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角，∠AC1B＝30°.又AB＝BC＝2，所以在Rt△ABC1中，BC1＝eq\f(AB,tan∠AC1B)＝2eq\r(3)，在Rt△BCC1中，CC1＝eq\r(2\r(3)2－22)＝2eq\r(2)，所以该长方体体积V＝BC×CC1×AB＝8eq\r(2).]4.(2019·汕头模拟)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是()A．MN⊥CC1B．MN⊥平面ACC1A1C．MN∥平面ABCDD．MN∥A1B1D[在正方体ABCD­A1B