高二数学归纳法人教实验版（B）知识精讲.doc

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高二数学归纳法人教实验版（B）
【本讲教育信息】
一.教学内容：
数学归纳法

二.学习目标
数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，掌握数学归纳法的基本解题步骤，能利用此方法解决有关问题。

三.考点分析
1、一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n=n0时命题成立；
（2）（归纳递推）假设n=k（）时命题成立，证明当时命题也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。
注：（1），（2）两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。
2、运用数学归纳法时易犯的错误
（1）对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。
（2）没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了。
（3）关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性。

【典型例题】
例1.数列的通项公式，设，试求的值，推导出的公式，并证明。
证明：
，
猜想：，证明如下：
（1）当时，公式成立
（2）假设时成立，即
那么

由（1）（2）可知，对任何都成立。

例2.用数学归纳法证明：时，。
解析：①当时，左边，右边，左边=右边，所以等式成立。
②假设时等式成立，即有，
则当时，

，
所以当时，等式也成立。
由①，②可知，对一切等式都成立。
点评：（1）用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式，命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由到时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项。
（2）在本例证明过程中，①考虑“n取第一个值的命题形式”时，需认真对待，这一过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。
本题证明时若利用数列求和中的拆项相消法，即

，
则这不是归纳假设，这是套用数学归纳法的一种伪证。
（3）在步骤②的证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确时证明的目标，充分考虑由到时，命题形式之间的区别和联系。
例3.用数学归纳法证明：能被9整除。
解析：方法一：令，
（1）能被9整除。
（2）假设能被9整除，则

∴能被9整除。
由（1）（2）知，对一切，命题均成立。
方法二：（1），原式能被9整除，
（2）若，能被9整除，
则时

∴时也能被9整除。
由（1），（2）可知，对任何，能被9整除。
点评：证明整除性问题的关键是“凑项”，而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段凑出时的情形，从而利用归纳假设使问题获证。

例4.对一切大于1的自然数，证明：。
证明：
（1）当时，
（2）假设时命题成立，即，那么当时，，
只需证明，
只要证明，此式显然成立。
故当时，不等式仍然成立。
由（1）（2）知，对一切（）不等式均成立。

例5.平面内有条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这条直线把平面分割成个区域。
证明：
（1）当时，一条直线把平面分成两个区域，又，所以时命题成立。
（2）假设时，命题成立，即条满足题意的直线把平面分割成了个区域，
那么当时，条直线中的条把平面分成了个区域。
第条直线被这条直线分成部分，每部分把它们所在的区域分成了两块，因此增加了个区域，
所以条直线把平面分成了个区域，
所以时命题也成立，
根据（1）、（2）知，对一切的，此命题均成立。

【模拟试题】
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1、用数学归纳法证明时，从“到”，左边需增乘的代数式是（）
A. B. C. D.
2、用数学归纳法证明“”，在验证时，左端计算所得的项为（）
A. B.
C. D.
3、用数学归纳法证明：（，且）时，第一步即证下列哪个不等式成立（）
A. B. C. D.
4、用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”的第二步应是（）
A.假设时正确，再推时正确
B.假设时正确，再推时正确
C.假设时正确，再推时正确
D.假设时正确，再推时正确
5、空间中有个平面，它们中任何两个不平行，任何三个不共线，设个这样的平面把空间分成个区域，则个平面把空间分成的区域数（）
A. B. C. D.
6、用数学归纳法证明：“（，且）”时，由（）不等式成立推证时不等式成立时，左边应增加的项数是（）
A. B. C. D.

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
7、在数列中，