高二数学数学归纳法（文）人教实验版（B）知识精讲.doc

用心爱心专心高二数学数学归纳法（文）人教实验版（B）【本讲教育信息】一.教学内容：数学归纳法二.学习目标理解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单的命题.三.考点分析：1、数学归纳法是一种证明与正整数n有关的数学命题的重要方法.2、用数学归纳法证明命题时，两个步骤缺一不可，且书写必须规范；3、两个步骤中，第一步是基础，第二步是依据.在第二步证明中，关键是一凑假设，二凑结论.4、用数学归纳法证明命题的步骤为：①验证当n取第一个值时命题成立，这是推理的基础；②假设当n=k时命题成立.在此假设下，证明当时命题也成立是推理的依据.特别注意：（1）用数学归纳法证明问题时首先要验证时成立，注意不一定为1；（2）在第二步中，关键是要正确合理地运用归纳假设，尤其要弄清由k到k+1时命题的变化【典型例题】用数学归纳法证明恒等式：例1、已知，证明：.证明：（1）当时，左边=，右边，等式成立；（2）假设当时等式成立，即有：.那么当时，左边==右边；所以当时等式也成立.综合（1）（2）知对一切，等式都成立.思维点拨：仔细观察欲证等式的结构特征，在第二步证明当时向目标式靠拢是关键.用数学归纳法证明不等式：例2、求证：证明：（1）当n=1时，，原不等式成立（2）设n=k时，原不等式成立即成立，当n=k+1时，即n=k+1时，命题成立综合（1）、（2）可得：原命题对一切恒成立。用数学归纳法证明整除问题：例3、是否存在正整数m使得对任意自然数n都能被m整除，若存在，求出最大的m的值，并证明你的结论。若不存在，请说明理由。证明：由得，，，，，由此猜想m=36下面用数学归纳法证明（1）当n=1时，等式显然成立。（2）假设n=k时，f（k）能被36整除，即能被36整除；当n=k+1时，由于是2的倍数，故能被36整除，这就是说，当n=k+1时，f（n）也能被36整除由（1）（2）可知对一切正整数n都有能被36整除，∴m的最大值为36。用数学归纳法证明几何问题：例4、平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成个部分.解：（1）当时，一个圆把平面分成两部分，此时，即命题成立；（2）假设当时命题成立，即个圆把平面分成个部分。那么当时，这个圆中的个圆把平面分成个部分。第个圆被前个圆分成条弧，这条弧中的每一条把所在的部分分成了2个部分，这时共增加了个部分，故个圆把平面分成个部分，这说明当时命题也成立.综上所述，对一切，命题都成立.例5、已知数列，计算，猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明。证明：于是可以猜想下面用数学归纳法来证明（1）当时，左边右边猜想成立。（2）假设当时，猜想成立，即那么，当时所以当时猜想也成立。例6、用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式成立。解析：①当时，左=，右，左>右，∴不等式成立。②假设当时，不等式成立，即，那么当时，，∴当时，不等式也成立。由①，②知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立。点评：（1）本题证明当命题成立时，利用归纳假设，并对照目标式进行了恰当的缩小来实现，也可以用上归纳假设后，证明不等式成立。（2）应用数学归纳法证明与非零自然数有关的命题时要注意两个步骤缺一不可，第①步成立是推理的基础，第②步是推理的依据（即成立，则成立，成立，……，从而断定命题对所有的自然数均成立）。另一方面，第①步中，验证中的未必是1，根据题目要求，有时可为2，3等；第②步中，证明当时命题也成立的过程中，要作适当的变形，设法用上归纳假设。【模拟试题】一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1.用数学归纳法证明时，从“到”，左边需增乘的代数式是（）A.B.C.D.2.用数学归纳法证明“”，在验证时，左边计算所得的项为（）A.B.C.D.3.用数学归纳法证明：（，且）时，第一步即证下列哪个不等式成立（）A.B.C.D.4.用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”的第二步应是（）A.假设时正确，再推时正确B.假设时正确，再推时正确C.假设时正确，再推时正确D.假设时正确，再推时正确5.空间中有个平面，它们中任何两个不平行，任何三个不共线，设个这样的平面把空间分成个区域，则个平面把空间分成的区域数（）A.B.C.D.6.用数学归纳法证明：“（，且）”时，由（）不等式成立推证不等式成立时，左边应增加的项数是（）A.B.C.D.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）7、平面内有个圆，其中每两个圆都相交，每三个或三个以上的圆都不交于同一点，它们把平面分成_____________个部分。8、在数列中，，且，，2成等差数列（表示数列的前n项和），则，，分别为__________；由此猜想___________。9、已知对一切都成立，那么a=_____________，b=