（通用版）高考数学二轮复习 专题七 数列 第2讲 数列问题的综合考题溯源教材变式 理-人教版高三全册数学试题.doc

（通用版）2016年高考数学二轮复习专题七数列第2讲数列问题的综合考题溯源教材变式理

真题示例对应教材题材评说(2014·高考课标全国卷Ⅰ，12分)已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)))的前n项和.(必修5P68复习考题A组T11)数列{an}是等差数列，a1＝f(x＋1)，a2＝0，a3＝f(x－1)，其中f(x)＝x2－4x＋2，求通项公式an.函数、方程与数列有亲密无间的关系，利用函数、方程的相关知识点为背景产生的数列问题具有生命力极强的特点.
[教材变式训练]

[变式1](必修5P68B组T2改编)在等比数列{an}中，an>0，eq\f(1,a1)，eq\f(1,a2)，eq\f(1,a2)＋1成等差数列，且a1＋2a2＝2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝logeq\s\do9(\f(1,2))an，求数列{anbn}的前n项和．
解：(1)设等比数列{an}中公比为q，由an>0知q>0
依题意eq\f(1,a1)＋(eq\f(1,a2)＋1)＝eq\f(2,a2)，即a1－a2＝a1a2⇒a1q＝1－q.
又a1＋2a2＝2⇒a1＋2a1q＝2，
由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1q＝1－q,a1＋2a1q＝2))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1,q＝\f(1,2)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－2,q＝－1))(舍)，
∴数列{an}的通项公式为an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1).
(2)∵bn＝logeq\s\do9(\f(1,2))an＝n－1，∴anbn＝eq\f(n－1,2n－1)，
设数列{anbn}的前n项和为Sn，则
Sn＝0＋eq\f(1,2)＋eq\f(2,22)＋eq\f(3,23)＋…＋eq\f(n－1,2n－1)，
eq\f(1,2)Sn＝eq\f(0,2)＋eq\f(1,22)＋eq\f(2,23)＋…＋eq\f(n－2,2n－1)＋eq\f(n－1,2n)，
相减得eq\f(1,2)Sn＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,23)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(n－1,2n)
＝eq\f(\f(1,2),1－\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n－1)))－eq\f(n－1,2n)
＝1－eq\f(n＋1,2n)，
∴Sn＝2－eq\f(n＋1,2n－1).
[变式2](必修5P46A组T6改编)两个等差数列{an}与{bn}的前3项分别为2，6，10与2，8，14，由这两个等差数列的公共项从小到大的顺序构成一个新数列{cn}．
(1)求数列{cn}的通项公式；
(2)若n<m，且c1，cn，cm成等比数列，求m的最小值．
解：(1)依题意{an}的通项公式为an＝4n－2，{bn}的通项公式为bn＝6n－4，
设cn＝am＝bk，则4m－2＝6k－4，
即m＝eq\f(3k－1,2)，
∴3k－1必为偶数，又k∈N*，
∴3k必为奇数，
∴k必为奇数，
设k＝2n－1，n∈N*，则m＝3n－2，
∴cn＝a3n－2＝b2n－1＝12n－10，
故{cn}的通项公式为cn＝12n－10.
(2)由(1)知，c1＝2，cn＝12n－10，cm＝12m－10，m>n.
依题意得2(12m－10)＝(12n－10)2，
∴m＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,6)))eq\s\up12(2)＋eq\f(5,6)(n∈N*)．
由二次函数知y＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,6)))eq\s\up12(2)＋eq\f(5,6)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)，＋∞))上单调递增，
又当n＝1时m＝1与m>n矛盾，
当n＝2时，m＝6×eq\f(49,36)＋eq\f(5,6)＝9，满足m>n，
∴所求m的最小值为9.
[变式3](必修5P47A组T4改编)已知数列{a