（浙江专版）高考数学二轮专题复习 知能专练（十七）圆锥曲线的概念与性质-人教版高三全册数学试题.doc

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知能专练（十七）圆锥曲线的概念与性质
一、选择题
1．(2017·惠州调研)双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率e＝eq\f(\r(13),2)，则它的渐近线方程为()
A．y＝±eq\f(3,2)x B．y＝±eq\f(2,3)x
C．y＝±eq\f(9,4)x D．y＝±eq\f(4,9)x
解析：选A由双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率e＝eq\f(\r(13),2)，可得eq\f(c2,a2)＝eq\f(13,4)，∴eq\f(b2,a2)＋1＝eq\f(13,4)，可得eq\f(b,a)＝eq\f(3,2)，故双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(3,2)x.
2．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为()
A.eq\f(\r(6),3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(1,3)
解析：选A以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝eq\f(2ab,\r(b2＋a2))＝a，得a2＝3b2，所以C的离心率e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(6),3).
3．(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－eq\f(y2,3)＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为()
A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,2)
解析：选D由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－eq\f(y2,3)＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝eq\f(1,2)|PF|·|AP|＝eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2).
4．设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且∠CBA＝eq\f(π,4)，若AB＝4，BC＝eq\r(2)，则椭圆的两个焦点之间的距离为()
A.eq\f(4\r(6),3) B.eq\f(2\r(6),3)C.eq\f(4\r(3),3) D.eq\f(2\r(3),3)
解析：选A不妨设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，如图，由题意知，2a＝4，a＝2，∵∠CBA＝eq\f(π,4)，BC＝eq\r(2)，∴点C的坐标为(－1,1)，∵点C在椭圆上，∴eq\f(1,22)＋eq\f(1,b2)＝1，∴b2＝eq\f(4,3)，
∴c2＝a2－b2＝4－eq\f(4,3)＝eq\f(8,3)，c＝eq\f(2\r(6),3)，则椭圆的两个焦点之间的距离为2c＝eq\f(4\r(6),3).
5．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为eq\r(3)的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为()
A.eq\r(5) B．2eq\r(2)C．2eq\r(3) D．3eq\r(3)
解析：选C法一：由题意，得F(1,0)，
则直线FM的方程是y＝eq\r(3)(x－1)．
由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x－1，,y2＝4x，))得x＝eq\f(1,3)或x＝3.
由M在x轴的上方，得M(3,2eq\r(3))，
由MN⊥l，得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4.
又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，
因此△MNF是边长为4的等边三角形，
所以点M到直线NF的距离为4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3).
法二：依题意，得直线FM的倾斜角为60°，
则|MN|＝|MF|＝eq\f(2,1－cos60°)＝4.
又∠NMF等于直线FM的倾斜角，
即∠NMF＝60°，
因此△MNF是边长为4的等边三角形，
所以点M到直线NF的距离为4×eq\