（江苏专用）高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 8.4 直线、平面垂直的判定与性质教师用书 文 苏教版-苏教版高三全册数学试题.doc

8.4直线、平面垂直的判定与性质

1.直线与平面垂直
(1)定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直.
(2)判定定理与性质定理
文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b⊂α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))⇒l⊥α性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b
2.平面与平面垂直
(1)平面和平面垂直的定义
如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l⊂β))⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l⊂β,α∩β＝a,l⊥a))⇒l⊥α
【知识拓展】
重要结论
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.
(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直.

【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(×)
(2)垂直于同一个平面的两平面平行.(×)
(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(√)
(4)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.(×)
(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直.(√)

1.(教材改编)下列命题中正确的是________.
①如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β；
②如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β；
③如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β；
④如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ.
答案②③④
解析根据面面垂直的性质，知①不正确，直线l可能平行平面β，也可能在平面β内，②③④正确.
2.设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的_________条件.
答案充分不必要
解析若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.
3.(2016·连云港模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是________.
①若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n；
②若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；
③若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β；
④若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β.
答案④
解析①中，m与n可垂直、可异面、可平行；②中，m与n可平行、可异面；③中，若α∥β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故③错误；④中，m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n∥β，∴存在l⊂β，l∥n，∴l⊥α，∴α⊥β.
4.(2016·徐州模拟)α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及平面β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：
_________________________________________________________.
答案可填①③④⇒②与②③④⇒①中的一个
5.(教材改编)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.
(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心.
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心.
答案(1)外(2)垂
解析(1)如图1，连结OA，OB，OC，OP，
在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，
所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心.

(2)如图2，延长AO，BO，CO，分别交BC，AC，AB于H，D，G.
∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，
∴PC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，
又AB⊥PO，PO∩PC＝P，
∴AB⊥平面PGC，
又CG⊂平面PGC，
∴AB