（江苏专用）高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.4 直线、平面垂直的判定与性质 文-人教版高三全册数学试题.doc

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第八章立体几何8.4直线、平面垂直的判定与性质文

1．直线与平面垂直
图形条件结论判
定a⊥b，b⊂α(b为α内的任意一条直线)a⊥αa⊥m，a⊥n，m、n⊂α，m∩n＝Oa⊥αa∥b，a⊥αb⊥α
性
质a⊥α，b⊂αa⊥ba⊥α，b⊥αa∥b2.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言图形语言符号语言判定
定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊂β,l⊥α))⇒α⊥β性质
定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊂β,l⊥a))⇒l⊥α
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(×)
(2)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(√)
(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(√)
(4)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.(×)
(5)a⊥α，a⊂β⇒α⊥β.(√)
(6)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(×)

1．(教材改编)下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是____________．
①l与平面α内的两条直线垂直；
②l与平面α内无数条直线垂直；
③l与平面α内的某一条直线垂直；
④l与平面α内任意一条直线垂直．
答案④
解析由直线与平面垂直的定义，可知④正确．
2．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的____________条件．
答案充分不必要
解析若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.
3．已知平面α⊥β，α∩β＝l，P是空间一点，且P到平面α、β的距离分别是1、2，则点P到l的距离为________．
答案eq\r(5)
解析如图，∵PO⊂平面PAB，
∴l⊥PO.
∴PO就是P到直线l的距离，
∵α⊥β，∴四边形PAOB为矩形，
PO＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5).
4．(教材改编)PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连结PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________________________________________________________________________对．
答案7
解析由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC，共7对．
5．(教材改编)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，
(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．
答案(1)外(2)垂
解析(1)如图1，连结OA，OB，OC，OP，
在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，
所以OA＝OB＝OC，
即O为△ABC的外心．

(2)如图2，延长AO、BO、CO分别交对边于H、D、G点，∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，
∴PC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴PC⊥AB，
又AB⊥PO，PO∩PC＝P，
∴AB⊥平面PGC，
又CG⊂平面PGC，
∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB的高．
同理可证BD，AH为△ABC底边上的高，
即O为△ABC的垂心．

题型一直线与平面垂直的判定与性质
例1(2014·辽宁)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．
(1)求证：EF⊥平面BCG；
(2)求三棱锥D－BCG的体积．
(1)证明由已知得
△ABC≌△DBC，
因此AC＝DC.
又G为AD的中点，所以CG⊥AD.
同理BG⊥AD，又BG∩CG＝G，因此AD⊥平面BGC.
又因E，F分别为AC，DC的中点，
所以EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.
(2)解在平面ABC内，作AO⊥BC，交CB的延长线于O，如图
由平面ABC⊥平面BCD，知AO⊥平面BD