高考数学大一轮复习 8.4直线、平面垂直的判定与性质教师用书 理 苏教版-苏教版高三全册数学试题.doc

§8.4直线、平面垂直的判定与性质

1．直线与平面垂直
图形条件结论判定a⊥b，b⊂α(b为α内的任意直线)a⊥αa⊥m，a⊥n，m、n⊂α，m∩n＝Oa⊥αa∥b，a⊥αb⊥α性质a⊥α，b⊂αa⊥ba⊥α，b⊥αa∥b[知识拓展]
几个常用的结论
(1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直；
(2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直；
(3)垂直于同一直线的两个平面互相平行．
2．两个平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)平面与平面垂直的判定定理
文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊂β,l⊥α))
⇒α⊥β

(3)平面与平面垂直的性质定理
文字语言图形语言符号语言性质
定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊂β,l⊥a))
⇒l⊥α3.线面角与二面角
(1)直线和平面所成的角
①平面的一条斜线与它在平面内的射影所成的锐角叫做这条直线与这个平面所成的角．
②当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°.
(2)二面角的有关概念
①二面角：从一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(×)
(2)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(√)
(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(√)
(4)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.(×)
(5)a⊥α，a⊂β⇒α⊥β.(√)

1．下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是________．
①l与平面α内的两条直线垂直；
②l与平面α内无数条直线垂直；
③l与平面α内的某一条直线垂直；
④l与平面α内任意一条直线垂直．
答案④
解析由直线与平面垂直的定义，可知④正确．
2．(2013·广东改编)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是________．
①若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n；
②若α∥β，m⊂α，n⊂β，，则m∥n；
③若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β；
④若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β.
答案④
解析①中，m与n可垂直、可异面、可平行；②中m与n可平行、可异面；③中若α∥β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故③错误；④中，m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n∥β，∴存在l⊂β，l∥n，∴l⊥α，∴α⊥β.
3．(2014·浙江改编)设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列结论正确的是________．
①若m⊥n，n∥α，则m⊥α；
②若m∥β，β⊥α，则m⊥α；
③若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α；
④若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.
答案③
解析①中，由m⊥n,n∥α，可得m⊂α或m∥α或m与α相交，错误；②中，由m∥β，β⊥α，可得m⊂α或m∥α或m与α相交，错误；③中，由m⊥β，n⊥β，可得m∥n，又n⊥α，则m⊥α，正确；④中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α，可得m与α相交或m⊂α或m∥α，错误．
4．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及平面β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________________________.
答案可填①③④⇒②与②③④⇒①中的一个

题型一直线与平面垂直的判定与性质
例1如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
证明：(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
思维点拨第(1)问通过CD⊥平面PAC证明；也可通过AE⊥平面PCD得到结论；第(2)问利用线面垂直的判定定理证明直线PD与平面ABE内的两条相交直线垂直．
证明(1)在四棱锥P—ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC.
而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，