（江苏专用）高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 第2课时 导数与函数的极值、最值教师用书 文 苏教版-苏教版高三全册数学试题.doc

第2课时导数与函数的极值、最值
题型一用导数解决函数极值问题
命题点1根据函数图象判断极值
例1(1)(2016·淮安模拟)设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是________.

(2)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是________.

①函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)；
②函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)；
③函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)；
④函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2).
答案(1)③(2)④
解析(1)由f′(x)图象可知，x＝0是函数f(x)的极大值点，x＝2是f(x)的极小值点.
(2)由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；
当－2<x<1时，f′(x)<0；
当1<x<2时，f′(x)<0；
当x>2时，f′(x)>0.
由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.
命题点2求函数的极值
例2设a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.
解(1)令f′(x)＝－3x2＋3＝0，
得x1＝－1，x2＝1.
又因为当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0；
当x∈(－1,1)时，f′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.
所以f(x)的极小值为f(－1)＝a－2，
f(x)的极大值为f(1)＝a＋2.
(2)因为f(x)在(－∞，－1)上单调递减，
且当x→－∞时，f(x)→＋∞；
又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
且当x→＋∞时，f(x)→－∞；
而a＋2>a－2，即函数的极大值大于极小值，
所以当极大值等于0时，有极小值小于0，
此时曲线f(x)与x轴恰好有两个交点，
即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，
所以a＋2＝0，a＝－2，如图1.当极小值等于0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a－2＝0，a＝2.如图2.

综上，当a＝2或a＝－2时方程恰好有两个实数根.
命题点3已知极值求参数
例3(1)若函数f(x)＝eq\f(x2＋a,x＋1)在x＝1处取极值，则a＝________.
(2)(2016·南京学情调研)已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋x2－2ax＋1，若函数f(x)在(1,2)上有极值，则实数a的取值范围为________.
答案(1)3(2)(eq\f(3,2)，4)
解析(1)∵f′(x)＝(eq\f(x2＋a,x＋1))′
＝eq\f(x2＋a′x＋1－x2＋ax＋1′,x＋12)＝eq\f(x2＋2x－a,x＋12)，
又∵函数f(x)在x＝1处取极值，
∴f′(1)＝0.
∴1＋2×1－a＝0，
∴a＝3.验证知a＝3符合题意.
(2)方法一令f′(x)＝x2＋2x－2a＝0，
得x1＝－1－eq\r(1＋2a)，x2＝－1＋eq\r(1＋2a)，
因为x1∉(1,2)，因此则需1<x2<2，
即1<－1＋eq\r(1＋2a)<2，
即4<1＋2a<9，所以eq\f(3,2)<a<4，
故实数a的取值范围为(eq\f(3,2)，4).
方法二f′(x)＝x2＋2x－2a的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x＝－1，则f′(x)在(1,2)上是单调递增函数，因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′1＝3－2a<0，,f′2＝8－2a>0，))解得eq\f(3,2)<a<4，
故实数a的取值范围为(eq\f(3,2)，4).
思维升华(1)求函数f(x)极值的步骤：
①确定函数的定义域；
②求导数f′(x)；
③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；
④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值.
(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.
(1)函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是______________.
(2)函数y＝2x－eq\f(1,x2)的极大值是________.
答案(1)x＝1或－1或0(2)－3
解析(1)∵f(x)＝x4－2x2＋3，
∴由f′(x