高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 第2课时 导数与函数的极值、最值教师用书 文 北师大版-北师大版高三全册数学试题.doc

第2课时导数与函数的极值、最值
题型一用导数解决函数极值问题
命题点1根据函数图像判断极值
例1(1)(2016·青岛模拟)设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的图像最有可能是()

(2)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是()

A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
答案(1)C(2)D
解析(1)由f′(x)图像可知，x＝0是函数f(x)的极大值点，x＝2是f(x)的极小值点，故选C.
(2)由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；
当－2<x<1时，f′(x)<0；
当1<x<2时，f′(x)<0；
当x>2时，f′(x)>0.
由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．
命题点2求函数的极值
例2(2016·泉州模拟)已知函数f(x)＝x－1＋eq\f(a,ex)(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
解(1)由f(x)＝x－1＋eq\f(a,ex)，得f′(x)＝1－eq\f(a,ex).
又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，
得f′(1)＝0，即1－eq\f(a,e)＝0，解得a＝e.
(2)f′(x)＝1－eq\f(a,ex)，
①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值；
②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝lna，
当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；
当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，lna)上是减少的，
在(lna，＋∞)上是增加的，故f(x)在x＝lna处取得极小值且极小值为f(lna)＝lna，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，f(x)在x＝lna处取得极小值lna，无极大值．
命题点3已知极值求参数
例3(1)(2016·广州模拟)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.
(2)(2016·福州质检)若函数f(x)＝eq\f(x3,3)－eq\f(a,2)x2＋x＋1在区间(eq\f(1,2)，3)上有极值点，则实数a的取值范围是()
A．(2，eq\f(5,2)) B．[2，eq\f(5,2))
C．(2，eq\f(10,3)) D．[2，eq\f(10,3))
答案(1)－7(2)C
解析(1)由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则
eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋3a－b－1＝0，,b－6a＋3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝9，))
经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7.
(2)若函数f(x)在区间(eq\f(1,2)，3)上无极值，
则当x∈(eq\f(1,2)，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≥0恒成立或当x∈(eq\f(1,2)，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≤0恒成立．
当x∈(eq\f(1,2)，3)时，y＝x＋eq\f(1,x)的值域是[2，eq\f(10,3))；
当x∈(eq\f(1,2)，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≥0，
即a≤x＋eq\f(1,x)恒成立，a≤2；
当x∈(eq\f(1,2)，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≤0，
即a≥x＋eq\f(1,x)恒成立，a≥eq\f(10,3).
因此要使函数f(x)在(eq\f(1,2)，3)上有极值点，
实数a的取值范围是(2，eq\f(10,3))．
思维升华(1)求函数f(x)极值的步骤
①确定函数的定义域；
②求导数f′(x)；
③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；
④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．
(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f