创新设计（全国通用）高考数学二轮复习 专题四 立体几何 第2讲 立体几何中的向量方法练习 理-人教版高三全册数学试题.doc

专题四立体几何第2讲立体几何中的向量方法练习理
1.(2016·山东卷)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线.
(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；
(2)已知EF＝FB＝eq\f(1,2)AC＝2eq\r(3)，AB＝BC，求二面角F－BC－A的余弦值.
(1)证明设FC中点为I，连接GI，HI，在△CEF中，因为点G是CE的中点，所以GI∥EF.
又EF∥OB，所以GI∥OB.
在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC，又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC.
因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.
(2)解连接OO′，则OO′⊥平面ABC.又AB＝BC，且AC是圆O的直径，所以BO⊥AC.
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.
由题意得B(0，2eq\r(3)，0)，
C(－2eq\r(3)，0，0).过点F作FM垂直OB于点M，
所以FM＝eq\r(FB2－BM2)＝3，可得F(0，eq\r(3)，3).
故eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－2eq\r(3)，－2eq\r(3)，0)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝(0，－eq\r(3)，3).
设m＝(x，y，z)是平面BCF的一个法向量.
由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(BC,\s\up6(→))＝0，,m·\o(BF,\s\up6(→))＝0.))可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2\r(3)x－2\r(3)y＝0，,－\r(3)y＋3z＝0.))可得平面BCF的一个法向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，1，\f(\r(3),3)))，
因为平面ABC的一个法向量n＝(0，0，1)，
所以cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(\r(7),7).
所以二面角F－BC－A的余弦值为eq\f(\r(7),7).

2.(2015·山东卷)如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点.
(1)求证：BD∥平面FGH；
(2)若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF＝DE,∠BAC＝45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.
(1)证明法一连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH，在三棱台DEF－ABC中，
AB＝2DE，G为AC的中点，
可得DF∥GC，DF＝GC，
所以四边形DFCG为平行四边形.
则O为CD的中点，又H为BC的中点，所以OH∥BD，
又OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.
法二在三棱台DEF－ABC中，
由BC＝2EF，H为BC的中点，
可得BH∥EF，BH＝EF，
所以四边形BHFE为平行四边形，
可得BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB.
又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.
因为BD⊂平面ABED，
所以BD∥平面FGH.
(2)解设AB＝2，则CF＝1.
在三棱台DEF－ABC中，G为AC的中点，由DF＝eq\f(1,2)AC＝GC，可得四边形DGCF为平行四边形，
因此DG∥FC，又FC⊥平面ABC，
所以DG⊥平面ABC.
在△ABC中，由AB⊥BC，∠BAC＝45°，G是AC中点.
所以AB＝BC，GB⊥GC，
因此GB，GC，GD两两垂直.
以G为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系G－xyz.
所以G(0，0，0)，B(eq\r(2)，0，0)，C(0，eq\r(2)，0)，D(0，0，1).
可得Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0))，F(0，eq\r(2)，1)，
故eq\o(GH,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0))，eq\o(GF,\s\up6(→))＝(0，eq\r(2)，1).
设n＝(x，y，z)是平面FGH的一个法向量，
则由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(GH,\s\up6(→))＝0，,n·\o(GF,\s\up6(→))＝0，))可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,\r(2)y＋z＝0.))
可得平面FGH的一个法向量n＝(1，－1，eq\r(2)).
因为