（全国通用版）高考数学二轮复习 专题四 立体几何与空间向量 第3讲 立体几何中的向量方法学案 理-人教版高三全册数学学案.doc

第3讲立体几何中的向量方法[考情考向分析]以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点常与空间线面关系的证明相结合热点为二面角的求解均以解答题的形式进行考查难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上．热点一利用向量证明平行与垂直设直线l的方向向量为a＝(a1b1c1)平面αβ的法向量分别为μ＝(a2b2c2)v＝(a3b3c3)则有(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2b1＝kb2c1＝kc2.(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3b2＝λb3c2＝λc3.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.例1如图在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中PA⊥底面ABCD点EF分别是PCPD的中点PA＝AB＝1BC＝2.(1)求证：EF∥平面PAB；(2)求证：平面PAD⊥平面PDC.证明(1)以点A为原点AB所在直线为x轴AD所在直线为y轴AP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz则A(000)B(100)C(120)D(020)P(001)．∵点EF分别是PCPD的中点∴Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12)1\f(12)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(01\f(12)))eq\o(EF\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12)00))eq\o(AB\s\up6(→))＝(100)．∵eq\o(EF\s\up6(→))＝－eq\f(12)eq\o(AB\s\up6(→))∴eq\o(EF\s\up6(→))∥eq\o(AB\s\up6(→))即EF∥AB又AB⊂平面PABEF⊄平面PAB∴EF∥平面PAB.(2)由(1)可知eq\o(AP\s\up6(→))＝(001)eq\o(AD\s\up6(→))＝(020)eq\o(DC\s\up6(→))＝(100)∵eq\o(AP\s\up6(→))·eq\o(DC\s\up6(→))＝(001)·(100)＝0eq\o(AD\s\up6(→))·eq\o(DC\s\up6(→))＝(020)·(100)＝0∴eq\o(AP\s\up6(→))⊥eq\o(DC\s\up6(→))eq\o(AD\s\up6(→))⊥eq\o(DC\s\up6(→))即AP⊥DCAD⊥DC.又AP∩AD＝AAPAD⊂平面PAD∴DC⊥平面PAD.∵DC⊂平面PDC∴平面PAD⊥平面PDC.思维升华用向量知识证明立体几何问题仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行即化归为证明线线平行用向量方法证明直线a∥b只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行仍需强调直线在平面外．跟踪演练1如图在直三棱柱ADE—BCF中平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直点M为AB的中点点O为DF的中点．运用向量方法证明：(1)OM∥平面BCF；(2)平面MDF⊥平面EFCD.证明方法一(1)由题意得ABADAE两两垂直以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.设正方形边长为1则A(000)B(100)C(110)D(010)F(101)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12)00))Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12)\f(12)\f(12))).eq\o(OM\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(12)－\f(12)))eq\o(BA\s\up6(→))＝(－100)∴eq\o(OM\s\up6(→))·eq\o(BA\s\up6(→))＝0∴eq\o(OM\s\up6(→))⊥eq\o(BA\s\up6(→)).∵棱柱ADE—BCF是直三棱柱∴AB⊥平面BCF∴eq\o(BA\s\up6(→))是平面BCF的一个法向量且OM⊄平面BCF∴OM∥平面BCF.(2)设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为n1＝(x1y1z1)n2＝(x2y2z2)．∵eq\o(DF\s\up6(→))＝(1－11)eq\o(DM\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\r