高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第3讲 导数与函数的极值、最值教案 文 新人教A版-新人教A版高三全册数学教案.doc

第3讲导数与函数的极值、最值

一、知识梳理
1．函数的极值
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)<0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．
[提醒](1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点．
(2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值．
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系．
2．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
[提醒]极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值．
常用结论
记住两个结论
(1)若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则相应极值点为函数最值点．
(2)若函数在闭区间[a，b]的最值点不是端点，则最值点亦为极值点．
二、习题改编
1．(选修1­1P94例4改编)若函数f(x)＝2x3－x2＋ax＋3在区间(－1，1)内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为()
A．(－8，－4) B．[－8，－4)
C．(－8，－4] D．(－∞，－8]∪[－4，＋∞)
答案：C
2．(选修1­1P99A组T6改编)函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为()
A．1－e B．－1
C．－e D．0
答案：B

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的．()
(2)导数为零的点不一定是极值点．()
(3)函数的极大值不一定比极小值大．()
(4)函数的极大值一定是函数的最大值．()
(5)开区间上的单调连续函数无最值．()
答案：(1)×(2)√(3)√(4)×(5)√
二、易错纠偏
eq\a\vs4\al(常见误区)(1)利用极值求参数时忽略对所求参数的检验；
(2)混淆极值与极值点的概念；
(3)连续函数在区间(a，b)上不一定存在最值．
1．若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为．
解析：函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f′(x)＝3x2－4cx＋c2，由题意知，在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6，又函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，故导数在x＝2处左侧为负，右侧为正，而当c＝6时，f(x)＝x(x－6)2在x＝2处有极大值，故c＝2.
答案：2
2．函数g(x)＝－x2的极值点是，函数f(x)＝(x－1)3的极值点(填“存在”或“不存在”)．
解析：结合函数图象可知g(x)＝－x2的极值点是x＝0.因为f′(x)＝3(x－1)2≥0，所以f′(x)＝0无变号零点，故函数f(x)＝(x－1)3不存在极值点．
答案：0不存在
3．函数g(x)＝x2在[1，2]上的最小值和最大值分别是，在(1，2)上的最小值和最大值均(填“存在”或“不存在”)．
解析：根据函数的单调性及最值的定义可得．
答案：1，4不存在

函数的极值问题(多维探究)
角度一由图象判断函数的极值
已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图，则下列叙述正确的是()

A．函数f(x)在(－∞，－4)上单调递减
B．函数f(x)在x＝2处取得极大值
C．函数f(x)在x＝－4处取得极值
D．函数f(x)有两个极值点
【解析】由导函数的图象可得，当x≤2时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增；当x>2时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，所以函数f(x)的单调递减区间为(2，＋∞)，故A错误．当x＝2时函数取得极大值，故B正确．当x＝－4时函数无极值，故C错误．只有当x＝2时函数取得极大值，故D错误．故选B.
【答案】B
eq\a\vs4\al()
由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(