高中数学 第二章 平面向量 2.3 向量的坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理教案 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学教案.doc

2．3.1平面向量基本定理
eq\o(\s\up7(),\s\do5(整体设计))
教学目标
知识目标
(1)了解平面向量基本定理．
(2)掌握平面内任何一个向量都可以用不共线的两个向量表示，能够在具体问题中选取合适的基底，使其他向量都能用这组基底来表示．
能力目标
(1)培养学生用向量解决实际问题的能力．
(2)培养学生观察、抽象概括、合作交流的能力．
情感目标
(1)增强学生的数学应用意识．
(2)激发学生学习数学的兴趣．
重点难点
教学重点：平面向量基本定理．
教学难点：对平面向量基本定理的理解及应用．
eq\o(\s\up7(),\s\do5(教学过程))
(1)复习回顾
师：如果向量a与非零向量b共线，那么a与b满足怎样的关系？
生：a＝λb.
师：当a，b确定时，λ的值有几个？
结论：如果向量a与非零向量b共线，那么有且只有一个实数λ，使a＝λb.
(2)引导探究
师：如果a与b不共线，则上述结论还成立吗？
(学生讨论)
结论：不成立．
师：你能否添加恰当的条件使得能够表示？
学生回答．
师：设e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，怎样用e1、e2表示a?

图1图2

(学生活动)根据前面所学的向量平行四边形法则，两向量共线定理得：
方法：平移(已知向量、未知向量)——构造((共起点)平行四边形)
eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))＝λ1eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ2eq\o(OB,\s\up6(→))，
即eq\o(OC,\s\up6(→))＝λ1e1＋λ2e2.
其中实数λ1，λ2都是惟一存在的．
设计意图：重在探究定理得出的三点，一是为何要用两个不共线的向量e1，e2来表示，二是怎样表示，三是表示的惟一性．
(3)意义建构
平面向量基本定理：(学生描述)
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a有且只有一对实数λ1，λ2，使得
a＝λ1e1＋λ2e2.
师：定理中应关注哪些关键词？这些关键词如何理解？
生：不共线、有且只有．
师：我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
基底是否惟一？

图3
eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))
＝eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OF,\s\up6(→)).
结论：对于同一向量，可以找到无数组基底来表示．在处理问题时经常选取最合适的一组基底．基底不惟一，关键是要不共线．
(4)定理再认识
①若a＝0，则有且只有：λ1＝λ2＝0使得a＝λ1e1＋λ2e2.
②若a与e1(或e2)共线，则有λ2＝0(或λ1＝0)，使得a＝λ1e1＋λ2e2.
③一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，称它为向量a的分解．特别地，当e1，e2互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解．
事实上，物理中速度、力的分解就是向量分解的物理原型．在接下来的向量运算中，将要用到向量a的正交分解．

图4
例1如图5，D是△ABC中BC边的中点，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示(1)eq\o(DC,\s\up6(→))，(2)eq\o(AD,\s\up6(→)).
解：(1)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(b－a)．
(2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(a＋b)．

图5
设计意图：通过构造平行四边形或三角形，利用平行四边形法则和三角形法则，把所求的量转化到已知量上，从而达到解题的目的．
例2设e1，e2是平面内的一组基底，eq\o(OA,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(OB,\s\up6(→))＝3e1－e2，eq\o(OC,\s\up6(→))＝me1－5e2且A、B、C三点共线，
(1)求实数m的值；
(2)试用向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))来表示eq\o(OC,\s\up6(→)).
解：(1)∵A、B、C三点共线，
∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq