高中数学 第二章 平面向量 2.3 向量的坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理教案 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学教案.doc

42．3.1平面向量基本定理eq\o(\s\up7()\s\do5(整体设计))教学目标知识目标(1)了解平面向量基本定理．(2)掌握平面内任何一个向量都可以用不共线的两个向量表示能够在具体问题中选取合适的基底使其他向量都能用这组基底来表示．能力目标(1)培养学生用向量解决实际问题的能力．(2)培养学生观察、抽象概括、合作交流的能力．情感目标(1)增强学生的数学应用意识．(2)激发学生学习数学的兴趣．重点难点教学重点：平面向量基本定理．教学难点：对平面向量基本定理的理解及应用．eq\o(\s\up7()\s\do5(教学过程))(1)复习回顾师：如果向量a与非零向量b共线那么a与b满足怎样的关系？生：a＝λb.师：当ab确定时λ的值有几个？结论：如果向量a与非零向量b共线那么有且只有一个实数λ使a＝λb.(2)引导探究师：如果a与b不共线则上述结论还成立吗？(学生讨论)结论：不成立．师：你能否添加恰当的条件使得能够表示？学生回答．师：设e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量a是这一平面内的任一向量怎样用e1、e2表示a?图1图2(学生活动)根据前面所学的向量平行四边形法则两向量共线定理得：方法：平移(已知向量、未知向量)——构造((共起点)平行四边形)eq\o(OC\s\up6(→))＝eq\o(OM\s\up6(→))＋eq\o(ON\s\up6(→))＝λ1eq\o(OA\s\up6(→))＋λ2eq\o(OB\s\up6(→))即eq\o(OC\s\up6(→))＝λ1e1＋λ2e2.其中实数λ1λ2都是惟一存在的．设计意图：重在探究定理得出的三点一是为何要用两个不共线的向量e1e2来表示二是怎样表示三是表示的惟一性．(3)意义建构平面向量基本定理：(学生描述)如果e1e2是同一平面内的两个不共线向量那么对于这一平面内的任一向量a有且只有一对实数λ1λ2使得a＝λ1e1＋λ2e2.师：定理中应关注哪些关键词？这些关键词如何理解？生：不共线、有且只有．师：我们把不共线的向量e1e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．基底是否惟一？图3eq\o(OC\s\up6(→))＝eq\o(ON\s\up6(→))＋eq\o(OM\s\up6(→))＝eq\o(OE\s\up6(→))＋eq\o(OF\s\up6(→)).结论：对于同一向量可以找到无数组基底来表示．在处理问题时经常选取最合适的一组基底．基底不惟一关键是要不共线．(4)定理再认识①若a＝0则有且只有：λ1＝λ2＝0使得a＝λ1e1＋λ2e2.②若a与e1(或e2)共线则有λ2＝0(或λ1＝0)使得a＝λ1e1＋λ2e2.③一个平面向量用一组基底e1e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式称它为向量a的分解．特别地当e1e2互相垂直时这种分解也称为向量a的正交分解．事实上物理中速度、力的分解就是向量分解的物理原型．在接下来的向量运算中将要用到向量a的正交分解．图4例1如图5D是△ABC中BC边的中点eq\o(AB\s\up6(→))＝aeq\o(AC\s\up6(→))＝b试用ab表示(1)eq\o(DC\s\up6(→))(2)eq\o(AD\s\up6(→)).解：(1)eq\o(DC\s\up6(→))＝eq\f(12)(b－a)．(2)eq\o(AD\s\up6(→))＝eq\f(12)eq\o(AE\s\up6(→))＝eq\f(12)(eq\o(AB\s\up6(→))＋eq\o(AC\s\up6(→)))＝eq\f(12)(a＋b)．图5设计意图：通过构造平行四边形或三角形利用平行四边形法则和三角形法则把所求的量转化到已知量上从而达到解题的目的．例2设e1e2是平面内的一组基底eq\o(OA\s\up6(→))＝e1＋e2eq\o(OB\s\up6(→))＝3e1－e2eq\o(OC\s\up6(→))＝me1－5e2且A、B、C三点共线(1)求实数m的值；(2)试用向量eq\o(OA\s\up6(→))eq\o(OB\s\up6(→))来表示eq\o(OC\s\up6(→)).解：(1)∵A、B、C三点共线∴eq\o(AB\s\up6(→))＝λeq\o(BC\s\up6(→)).又eq\o(AB\s\up6(→))＝eq\o(OB\s\up6(→))－eq\o(OA\s\up6(→))＝(