高中数学 第二章 平面向量 2.3 向量的坐标表示 2.3.2 平面向量的坐标运算教案 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学教案.doc

2．3.2平面向量的坐标运算
eq\o(\s\up7(),\s\do5(整体设计))
教学分析
1．前面学习了平面向量的坐标表示，实际是平面向量的代数表示．在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．
2．本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律，推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算．推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律．
3．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，一个自然的想法是向量的某些关系，特别是向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ，使得a＝λb，那么a与b共线)，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示．这种转化是比较容易的，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示．要注意的是，向量的共线与向量的平行是一致的．
三维目标
1．通过经历探究活动，使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法．理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示．
2．引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，平面向量的坐标成了数与形结合的载体．在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识．
重点难点
教学重点：平面向量的坐标运算．
教学难点：对平面向量共线的坐标表示的理解．
课时安排
2课时
eq\o(\s\up7(),\s\do5(教学过程))
第1课时
导入新课
对于平面内的任意向量a，过定点O作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，则点A的位置被向量a的大小和方向所惟一确定．如果以定点O为原点建立平面直角坐标系，那么点A的位置可通过其坐标来反映，从而向量a也可以用坐标来表示，这样就可以通过坐标来研究向量问题了．事实上，向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算怎样通过坐标运算来实现呢？
推进新课
eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))
1．平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系内，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)．
注意：(1)在直角坐标平面内，以原点为起点的向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐标就等于点A的坐标．
(2)两个向量相等对应坐标相等．
2．平面向量的坐标运算
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)．
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)．
即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)，即平面内两点间的距离公式．
(3)若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，λ∈R.
3．线段的中点坐标公式
若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1P2的中点P(eq\f(x1＋x2,2)，eq\f(y1＋y2,2))．
eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(应用示例))
思路1
例1课本本节例1.
变式训练
已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b等于()
A．(－2，－1)B．(－2,1)
C．(－1,0)D．(－1,2)
答案：D
例2课本本节例2.
变式训练
1.如图1，已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(－2,1)、(－1,3)、(3,4)，试求顶点D的坐标．

图1
活动：本题的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算．这里给出了两种解法：方法一利用“两个向量相等，则它们的坐标相等”，解题过程中应用了方程思想；方法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量eq\o(OD,\s\up6(→))的坐标，进而得到点D的坐标．解题过程中，关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系)，数形结合地思考，将顶点D的坐标表示为已知点的坐标．
解：方法一：如图1，设顶点D的坐标为(x，y)．
∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1－(－2)，3－1)＝(1,2)，eq\o(