高考数学大一轮复习 8.5空间向量及其运算试题 理 苏教版-苏教版高三全册数学试题.doc

第5讲空间向量及其运算

一、填空题
1．给出下列四个命题：
①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；
②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb.
③若eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))，则P，M，A、B共面；
④若P，M，A，B共面，则eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→)).
其中真命题的序号是________．
解析其中①③为正确命题．
答案①③
2.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则eq\o(BM,\s\up6(→))用a，b，c表示为________．
解析eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1M,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝c＋eq\f(1,2)(b－a)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.
答案－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c
3．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值是________．
解析由题意知：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(λ＋1,6)＝\f(2,2λ)，,2μ－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,μ＝\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－3，,μ＝\f(1,2).))
答案2，eq\f(1,2)或－3，eq\f(1,2)
4．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为________．
解析b－a＝(1＋t,2t－1,0)，
∴|b－a|＝eq\r(1＋t2＋2t－12)＝eq\r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,5)))2＋\f(9,5))，
∴当t＝eq\f(1,5)时，|b－a|取得最小值为eq\f(3\r(5),5).
答案eq\f(3\r(5),5)
5.如图，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝eq\f(π,3)，则cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉的值为________．
解析设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c
由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝eq\f(π,3)，且|b|＝|c|，
eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝a·(c－b)＝a·c－a·b
＝eq\f(1,2)|a||c|－eq\f(1,2)|a||b|＝0，∴cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝0.
答案0
6．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则
〈a，b〉＝________.
解析由条件知(a＋3b)·(7a－5b)
＝7|a|2＋16a·b－15|b|2＝0，
及(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0.
两式相减，得46a·b＝23|b|2，∴a·b＝eq\f(1,2)|b|2.
代入上面两个式子中任意一个，即可得到|a|＝|b|.
∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\f(1,2)|b|2,|b|2)＝eq\f(1,2).
∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝60°.
答案60°
7．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC1,\s\up6(→))，N为B1B的中点，则|eq\o(MN,\s\up6(→))|为________．
解析以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A(a,0,0)