高考数学一轮复习 核心素养测评四十二 空间向量及其运算 苏教版-苏教版高三全册数学试题.doc

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核心素养测评四十二空间向量及其运算
(30分钟60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=x-2a,则x等于 ()
A.(0,3,-6) B.(0,6,-20)
C.(0,6,-6) D.(6,6,-6)
【解析】选B.由b=x-2a,得x=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20).
2.在空间直角坐标系中,已知A(1,-2,1),B(2,2,2),点P在z轴上,且满足||=||,则P点坐标为 ()
A.(3,0,0) B.(0,3,0)
C.(0,0,3) D.(0,0,-3)
【解析】选C.设P(0,0,z),
则有
=,解得z=3.
3.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角θ为 ()
A.30° B.60° C.120° D.150°
【解析】选C.因为(2a+b)·b=0,所以2a·b+b2=0,
所以2|a||b|cosθ+|b|2=0,又因为|a|=|b|≠0,
所以cosθ=-,所以θ=120°.
4.已知点A,B,C不共线,对平面ABC外一点O,在下列条件下,点P与A,B,C共面的是 ()
A.=2-2-
B.=++
C.+=3-
D.+=4+
【解析】选C.C项可变形为=++,因为++=1,所以点P,A,B,C共面;其他项不可以.
5.在空间四边形ABCD中,·+·+·= ()
A.-1 B.0 C.1 D.不确定
【解析】选B.如图,令=a,=b,=c,

则·+·+·
=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)
=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.
【秒杀绝招】选B.如图,在空间四边形ABCD中,连接对角线AC,BD,得三棱锥A-BCD,不妨令其各棱长都相等,即为正四面体,因为正四面体的对棱互相垂直,

所以·=0,·=0,·=0.
所以·+·+·=0.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,则c=________.
【解析】因为a∥b,所以==,
解得x=2,y=-4,
此时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1),
又因为b⊥c,所以b·c=0,
即-6+8-z=0,解得z=2,于是c=(3,-2,2).
答案:(3,-2,2)
7.如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos<,>=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为________.

【解析】设PD=a,则A(2,0,0),B(2,2,0),
P(0,0,a),E1,1,.
所以=(0,0,a),=-1,1,.
由cos<,>=,所以=a·,所以a=2,所以E的坐标为(1,1,1).
答案:(1,1,1)
8.如图,已知在一个60°的二面角的棱上,有两个点A,B,AC,BD分别是在这
个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段,且AB=4,AC=6,BD=8,则CD的长
为________.

【解析】设=a,=b,=c,
由已知条件|a|=8,|b|=4,|c|=6,
<a,b>=90°,<b,c>=90°,<a,c>=60°,
||2=|++|2=|-c+b+a|2
=a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c=68,
则||=2.
答案:2
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,=a,=b,=c,点M,N分别是A1D,B1D1的中点.

(1)试用a,b,c表示;
(2)求证:MN∥平面ABB1A1.
【解析】(1)因为=-=c-a,所以==(c-a).
同理,=(b+c),
所以=-=(b+c)-(c-a)=(b+a)=a+b.
(2)因为=+=a+b,所以=,
即MN∥AB1,因为AB1⊂平面ABB1A1,MN⊄平面ABB1A1,所以MN∥平面ABB1A1.
10.已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=.
(1)求向量a与向量b的夹角的余弦值.
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值.
【解析】(1)因为a=(1,1,0),b=(-1,0,2),所以a·b=(1,1,0)·(-1,0,2)=-1,
又|a|==,|b|==,
所以cos<a,b>===-,
即向量a与向量b的夹角的余弦值为-.
(2)方法一:因为ka+b=(k-1,k,2).
ka-2b=(k+2,k,-4),且ka+b与ka-2b互相垂直,所以(k-