高考数学大一轮复习 8.5空间向量及其运算学案 理 苏教版-苏教版高三全册数学学案.doc

学案43空间向量及其运算导学目标：1.了解空间向量的概念了解空间向量的基本定理及其意义掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示能运用向量的共线与垂直证明直线、平面的平行和垂直关系．自主梳理1．空间向量的有关概念及定理(1)空间向量：在空间中具有________和________的量叫做空间向量．(2)相等向量：方向________且模________的向量．(3)共线向量定理对空间任意两个向量ab(a≠0)b与a共线的充要条件是________________________．(4)共面向量定理如果两个向量ab不共线那么向量p与向量ab共面的充要条件是存在有序实数对(xy)使得p＝xa＋yb推论的表达式为eq\o(MP\s\up6(→))＝xeq\o(MA\s\up6(→))＋yeq\o(MB\s\up6(→))或对空间任意一点O有eq\o(OP\s\up6(→))＝________________或eq\o(OP\s\up6(→))＝xeq\o(OA\s\up6(→))＋yeq\o(OB\s\up6(→))＋zeq\o(OM\s\up6(→))其中x＋y＋z＝____.(5)空间向量基本定理如果三个向量e1e2e3不共面那么对空间任一向量p存在惟一的有序实数组(xyz)使得p＝________________________把{e1e2e3}叫做空间的一个基底．2．空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算若a＝(a1a2a3)b＝(b1b2b3)则a·b＝__________________________________________________________________.(2)共线与垂直的坐标表示设a＝(a1a2a3)b＝(b1b2b3)若b≠0则a∥b⇔________⇔________________________________a⊥b⇔__________⇔________________________(ab均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设a＝(a1a2a3)b＝(b1b2b3)则|a|＝eq\r(a·a)＝________________________________cos〈ab〉＝eq\f(a·b|a||b|)＝______________________________________________________.若A(a1b1c1)B(a2b2c2)则|eq\o(AB\s\up6(→))|＝______________________________.3．利用空间向量证明空间中的位置关系若直线ll1l2的方向向量分别为vv1v2平面αβ的法向量分别为n1n2利用向量证明空间中平行关系与垂直关系的基本方法列表如下：平行垂直直线与直线l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ为非零实数)l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0直线与平面①l∥α⇔v⊥n1⇔v·n1＝0②l∥α⇔v＝xv1＋yv2其中v1v2为平面α内不共线向量xy均为实数l⊥α⇔v∥n1⇔v＝λn1(λ为非零实数)平面与平面α∥β⇔n1∥n2⇔n1＝λn2(λ为非零实数)α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0自我检测1．若a＝(2x13)b＝(1－2y9)且a∥b则x＝______________________y＝________.2．如图所示在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中M为AC与BD的交点若eq\o(A1B1\s\up6(→))＝aeq\o(A1D1\s\up6(→))＝beq\o(A1A\s\up6(→))＝c则eq\o(B1M\s\up6(→))用abc表示为________．3．在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中已知∠BAD＝∠A′AB＝∠A′AD＝60°AB＝3AD＝4AA′＝5则|eq\o(AC′\s\up6(→))|＝________.4．下列4个命题：①若p＝xa＋yb则p与a、b共面；②若p与a、b共面则p＝xa＋yb；③若eq\o(MP\s\up6(→))＝xeq\o(MA\s\up6(→))＋yeq\o(MB\s\up6(→))则P、M、A、B共面；④若P、M、A、B共面则eq\o(MP\s\up6(→))＝xeq\o(MA\s\up6(→))＋yeq\o(MB\s\up6(→)).其中真命题是________(填序号)．5．A(101)B(446)C(223)D(101417)这四个点________(填共面或不共面).探究