【创新设计】2014版高考数学一轮复习 8.5 空间向量及其运算 理 苏教版.doc

8.5空间向量及其运算
一、填空题
1．给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②不等式|a＋b|＜|a|＋|b|的充要条件是a与b不共线；
③若非零向量c垂直于不共线的向量a和b，d＝λa＋μb(λ、μ∈R，且λμ≠0)，则c⊥d.
正确命题的序号是________．
解析只有命题③是正确命题．
答案③
2.已知向量a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),若ab,则x=;若a∥b，则x=.
解析∵ab,
∴ab=(2-8-;
若a∥b,而a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),
∴b=-2a.
答案-6
3．以下四个命题中正确的是________(填序号)．
①空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
②若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组基底
③△ABC为直角三角形的充要条件是eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝0
④任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底
解析若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量，
则a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，
λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝eq\f(λ－1,1－μ)b＋eq\f(λ＋μ,1－μ)c，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾．
答案②
4．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是________．
①eq\o(OM,\s\up16(→))＝2eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→))；②eq\o(OM,\s\up16(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up16(→))；
③eq\o(MA,\s\up16(→))＋eq\o(MB,\s\up16(→))＋eq\o(MC,\s\up16(→))＝0；④eq\o(OM,\s\up16(→))＋eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))＝0；
解析∵eq\o(MA,\s\up16(→))＋eq\o(MB,\s\up16(→))＋eq\o(MC,\s\up16(→))＝0，∴eq\o(MA,\s\up16(→))＝－eq\o(MB,\s\up16(→))－eq\o(MC,\s\up16(→))，则eq\o(MA,\s\up16(→))、eq\o(MB,\s\up16(→))、eq\o(MC,\s\up16(→))为共面向量，即M、A、B、C四点共面．
答案③
5．给出下列四个命题：
①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；
②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb.
③若eq\o(MP,\s\up16(→))＝xeq\o(MA,\s\up16(→))＋yeq\o(MB,\s\up16(→))，则P，M，A、B共面；
④若P，M，A，B共面，则eq\o(MP,\s\up16(→))＝xeq\o(MA,\s\up16(→))＋yeq\o(MB,\s\up16(→)).
其中真命题的序号是________．
解析其中①③为正确命题．
答案①③
6．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于________．
解析由题意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，
∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7＝2t－μ,5＝－t＋4μ，,λ＝3t－2μ))∴t＝eq\f(33,7)，μ＝eq\f(17,7)，λ＝eq\f(65,7).
答案eq\f(65,7)
7．如图，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝eq\f(π,3)，则cos〈eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))〉的值为________．
解析设eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，eq\o(OC,\s\up16(→))＝c
由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝eq\f(π,3)，且|b|＝|c|，
eq\o(OA,\s\up1