（通用版）高考数学二轮复习 专题八 立体几何 第3讲 空间向量与立体几何考题溯源教材变式 理-人教版高三全册数学试题.doc

（通用版）2016年高考数学二轮复习专题八立体几何第3讲空间向量与立体几何考题溯源教材变式理

真题示例对应教材题材评说

(2014·高考课标全国卷Ⅱ，12分)如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.
(1)证明：PB∥平面AEC；
(2)设二面角D­AE­C为60°，AP＝1，AD＝eq\r(3)，求三棱锥E­ACD的体积.(选修2－1P109例4)

如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证：PA∥平面EDB；
(2)求证：PB⊥平面EFD；
(3)求二面角C­PB­D的大小.立体几何中的高考大题，多数是以教材中典型的题材为背景，加以提炼，合成加工而得，复习时，应多做多变这类教材题.
立体几何中的高考大题，多数是以教材中典型的题材为背景，加以提炼，合成加工而得，复习时，应多做多变这类教材题.
[教材变式训练]

一、选择题
[变式1](选修2－1P111A组T1改编)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M为棱CC1上的中点，则A1M与D1C所成的角为()
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选B.以eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则D1(0，0，2)，C(0，2，0)，A1(2，0，2)，M(0，2，1)，
∴eq\o(A1M,\s\up6(→))＝(－2，2，－1)，eq\o(D1C,\s\up6(→))＝(0，2，－2)，
设A1M与D1C所成角为θ，
∴cosθ＝|cos〈eq\o(A1M,\s\up6(→))，eq\o(D1C,\s\up6(→))〉|
＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(A1M,\s\up6(→))·\o(D1C,\s\up6(→)),|\a\vs4\al(\o(A1M,\s\up6(→)))||\o(D1C,\s\up6(→))|)))＝eq\f(6,3×2\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，
∴θ＝45°.

[变式2](选修2－1A组P117T4改编)在正三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱长是底边长的eq\r(2)倍，则AC1与侧面ABB1A1所成的角的余弦值为()
A.eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)
C.eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3),3)
解析：选C.如图所示，设底面边长为2，侧棱长为2eq\r(2).
取A1B1的中点D，连结C1D，AD，对于正三棱柱ABC­A1B1C1，C1D⊥面A1ABB1，∴∠C1AD即为AC1与面A1ABB1所成角，
∴AC1＝2eq\r(3)，AD＝3，
∴cos∠C1AD＝eq\f(3,2\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，
即AC1与侧面ABB1A1所成角的余弦值为eq\f(\r(3),2).
二、填空题
[变式3](选修2－1P117A组T3改编)在正三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为1，M为BC的中点，eq\o(C1N,\s\up6(→))＝λeq\o(NC,\s\up6(→))且AB1⊥MN，则λ的值为________．
解析：如图所示，取B1C1中点P，以eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MP,\s\up6(→))的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，∵底面边长为1，侧棱长为2，则A(0，eq\f(\r(3),2)，0)，B1(－eq\f(1,2)，0，2)，C(eq\f(1,2)，0，0)，C1(eq\f(1,2)，0，2)，M(0，0，0)，设N(eq\f(1,2)，0，t)，
∵eq\o(C1N,\s\up6(→))＝λeq\o(NC,\s\up6(→))，
∴N(eq\f(1,2)，0，eq\f(2,1＋λ))，
∴eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(－eq\f(1,2)，－eq\f(\r(3),2)，2)，
eq\o(MN,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)，0，eq\f(2,1＋λ))．
又∵AB1⊥MN，∴eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→