（通用版）高考数学二轮复习 专题八 立体几何 第2讲 空间直线与平面的位置关系考题溯源教材变式 理-人教版高三全册数学试题.doc

（通用版）2016年高考数学二轮复习专题八立体几何第2讲空间直线与平面的位置关系考题溯源教材变式理

真题示例对应教材题材评说(2015·高考全国卷Ⅱ，12分)如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.

(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；
(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.(必修2P59例3)

如图所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′.
(1)要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开应怎样画线？
(2)所画的线与平面AC是什么位置
关系？

(必修2P66例2)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.源于课本高于课本是立体几何试题的基本命题思路，复习时应注重教材中背景较好的题材，并进行加工整理．利用教材中的图形背景或问题背景是立体几何试题命制的主要途径.
[教材变式训练]

一、选择题
[变式1](必修2P63B组T3改编)如图，AB∥平面α∥平面β，过A，B的直线m，n分别交α，β于C，E和D，F，若AC＝2，CE＝3，BF＝4，则BD的长为()
A.eq\f(6,5) B.eq\f(7,5)
C.eq\f(8,5) D．eq\f(9,5)
解析：选C.由AB∥α∥β，易证eq\f(AC,CE)＝eq\f(BD,DF).
即eq\f(AC,AE)＝eq\f(BD,BF)，
∴BD＝eq\f(AC·BF,AE)＝eq\f(2×4,5)＝eq\f(8,5).
[变式2](必修2P73练习1，2)已知m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，下列命题为真的是()
A．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
B．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
C．若m∥n，n∥α，则m∥α
D．若α∥β，m∥n，m⊥α，则n⊥β
解析：选D.当m∥α，m⊥n时，n与α的位置关系有n⊂α，或n∥α或n与α相交，故A不正确．
当m∥α，α⊥β时，m与β的位置关系有m⊂β或m∥β或m与β相交，故B不正确．
当m∥n，n∥α时，有m⊂α或m∥α，故C不正确．
当α∥β，m∥n，m⊥α时，必有n⊥β，故D正确．
[变式3](必修2P78A组T7改编)正四棱锥的三视图如图，则相邻两个侧面所成的二面角的大小的余弦值为()

A．－eq\f(1,2) B．－eq\f(1,3)
C．－eq\f(1,4) D．－eq\f(1,6)
解析：选C.

由三视图画出直观图．
由三视图知，正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为eq\r(12＋22)＝eq\r(5).
过B作BE⊥PC于E，连接DE.
则DE⊥PC.
∴∠BED为侧面PBC与侧面PCD所成的平面角．
由等面积知，BE×PC＝BC×2，
∴BE＝eq\f(4,\r(5))＝DE.
又BD＝2eq\r(2).
∴cos∠BED＝eq\f(BE2＋DE2－BD2,2BE×DE)
＝eq\f(\f(16,5)＋\f(16,5)－8,2×\f(16,5))＝－eq\f(1,4).
[变式4](必修2P66例2改编)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线BD1与平面A1B1CD所成角的正弦值为()
A.eq\f(\r(2),3) B．eq\f(\r(3),3)
C.eq\f(2,3) D．eq\f(\r(6),3)
解析：选D.连接BC1与B1C交于E，
易证BE⊥平面A1B1CD.

由正方体的性质知，BD1与平面A1B1CD的交点F即为BD1的中点，连接EF，则∠BFE即为BD1与平面A1B1CD所成的角．
设正方体的棱长为2，则BE＝eq\r(2)，BF＝eq\r(3).
∴sin∠BFE＝eq\f(BE,BF)＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3).
[变式5](必修2P65“探究”改编)
如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，沿CD折成直二面角B­CD­A，则折后∠ACB的范围为()

A．(0°，30°]
B．[30°，50°]
C．[45°，60°)
D．[60°，90°)
解析：选D.设AC＝b，BC＝a，则AD＝eq\f(b2,\r(a2＋b2))，BD＝eq\f(a2,\r(a2＋b2))
折图后，由题意知．
∠ADB即为二面角B­CD­A的平面角．
∴∠ADB＝90°.
∴AB2＝AD2＋BD2＝eq\f(a4＋b4,a2＋b2)，
由余弦定理