（通用版教材）高考数学二轮复习 专题八 立体几何 第3讲 空间向量与立体几何专题强化训练 理-人教版.doc

（通用版）2016年高考数学二轮复习专题八立体几何第3讲空间向量与立体几何专题强化训练理
(时间：45分钟满分：60分)

1．(2015·高考全国卷Ⅰ，12分)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.

(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．
解：(1)证明：如图，连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.

在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.
由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝eq\r(3).
由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，
可知AE＝EC.
又AE⊥EC，所以EG＝eq\r(3)，且EG⊥AC.
在Rt△EBG中，可得BE＝eq\r(2)，故DF＝eq\f(\r(2),2).
在Rt△FDG中，可得FG＝eq\f(\r(6),2).
在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝eq\r(2)，DF＝eq\f(\r(2),2)，可得EF＝eq\f(3\r(2),2).
从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.
又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC.
因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.
(2)如图，以G为坐标原点，分别以eq\o(GB,\s\up6(→))，eq\o(GC,\s\up6(→))的方向为x轴，y轴正方向，|eq\o(GB,\s\up6(→))|为单位长度，建立空间直角坐标系G­xyz.
由(1)可得A(0，－eq\r(3)，0)，E(1，0，eq\r(2))，
Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(\r(2),2)))，C(0，eq\r(3)，0)，
所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝(1，eq\r(3)，eq\r(2))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\r(3)，\f(\r(2),2))).
故cos〈eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AE,\s\up6(→))·\o(CF,\s\up6(→)),|\a\vs4\al(\o(AE,\s\up6(→)))||\a\vs4\al(\o(CF,\s\up6(→)))|)＝－eq\f(\r(3),3).
所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为eq\f(\r(3),3).
2.如图，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD是正三角形，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2BC＝2，CD＝eq\r(3)，平面PAD⊥底面ABCD，若M为AD的中点，E是棱PC上的点．

(1)求证：平面EBM⊥平面PAD；
(2)若∠MEC＝90°，求二面角P­BM­E的余弦值．
解：(1)证明：∵M是AD的中点，
且AD＝2，∴MD＝1，
又∵AD∥BC，BC＝1，
∴四边形MBCD为平行四边形．
∵∠ADC＝90°，DC∥MB，
∴∠AMB＝90°，即BM⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，BM⊂平面ABCD，
∴BM⊥平面PAD.
∴平面EBM⊥平面PAD.
(2)∵△PAD是正三角形，M为AD中点，
∴PM⊥AD.
又∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴PM⊥平面ABCD.
如图，以M为原点，以MA，MB，MP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系M­xyz，

则A(1，0，0)，B(0，eq\r(3)，0)，P(0，0，eq\r(3))，
C(－1，eq\r(3)，0)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(－1，eq\r(3)，－eq\r(3))，
∵E在PC上，设eq\o(CE,\s\up6(→))＝λeq\o(CP,\s\up6(→))(0<λ<1)，
∴eq\o(ME,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))＝λ(eq\o(MP,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→)))．
∴eq\o(ME,\s\up6(→))＝(λ－1，eq\r(3)－eq\r(3)λ，eq\r(3)λ)．
∵eq\o(ME,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，∴λ＝eq\f(4,7).
∴eq\o(ME,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\v