高考数学大一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第27讲 数系的扩充与复数的引入课时达标 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题.doc

第27讲数系的扩充与复数的引入
课时达标
一、选择题
1．(2018·全国卷Ⅱ)i(2＋3i)＝()
A．3－2i B．3＋2i
C．－3－2i D．－3＋2i
D解析依题意得i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i.故选D．
2．若复数z满足方程z＋2＝zi(其中i为虚数单位)，则复数z的共轭复数eq\x\to(z)等于()
A．－1－i B．－1＋i
C．1＋i D．1－i
B解析因为z＋2＝zi，所以z(1－i)＝－2，所以z＝eq\f(－2,1－i)＝eq\f(－21＋i,2)＝－1－i，所以eq\x\to(z)＝－1＋i.故选B．
3．i是虚数单位，若eq\f(2＋i,1＋i)＝a＋bi(a，b∈R)，则lg(a＋b)的值是()
A．－2 B．－1
C．0 D．eq\f(1,2)
C解析因为eq\f(2＋i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(3－i,2)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)i＝a＋bi，
所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,2)，,b＝－\f(1,2)，))所以lg(a＋b)＝lg1＝0.故选C．
4．已知复数z＝(a2－1)＋(a－1)i(a∈R)是纯虚数，则a＝()
A．0 B．1
C．－1 D．±1
C解析易得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1＝0，,a－1≠0，))解得a＝－1.
5．满足eq\f(z＋i,z)＝i(i为虚数单位)的复数z＝()
A．eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i B．eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i
C．－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i D．－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i
B解析易得z＋i＝zi，所以(1－i)z＝－i，解得z＝eq\f(－i,1－i)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i.故选B．
6．已知复数z＝1＋ai(a∈R)(i是虚数单位)，eq\f(\x\to(z),z)＝－eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i，则a＝()
A．2 B．－2
C．±2 D．－eq\f(1,2)
B解析由题意可得eq\f(1－ai,1＋ai)＝－eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i，即eq\f(1－ai2,1＋a2)＝eq\f(1－a2－2ai,1＋a2)＝－eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i，所以eq\f(1－a2,1＋a2)＝－eq\f(3,5)，eq\f(－2a,1＋a2)＝eq\f(4,5)，所以a＝－2.故选B．
二、填空题
7．若复数z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z＋\f(1,\x\to(z))))·eq\x\to(z)＝________.
解析因为z＝1＋2i，所以eq\x\to(z)＝1－2i.所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z＋\f(1,\x\to(z))))·eq\x\to(z)＝z·eq\x\to(z)＋1＝5＋1＝6.
答案6
8．(2017·浙江卷)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.
解析因为(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－b2＝3，,2ab＝4，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－1，))所以a2＋b2＝5，ab＝2.
答案52
9．若复数z满足(1＋2i)z＝|3＋4i|(i为虚数单位)，则复数z＝________.
解析因为(1＋2i)z＝|3＋4i|＝5，
所以z＝eq\f(5,1＋2i)＝eq\f(51－2i,1＋2i1－2i)＝1－2i.
答案1－2i
三、解答题
10．计算：(1)eq\f(－1＋i2＋i,i3)；
(2)eq\f(1＋2i2＋31－i,2＋i)；
(3)eq\f(1－i,1＋i2)＋eq\f(1＋i,1－i2)；
(4)eq\f(1－\r(3)i,\r(3)＋i2).
解析(1)eq\f(－1＋i2＋i,i3)＝eq\f(－3＋