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7.2等差等比数列的通项及求和
【知识网络】
1、等差数列的通项公式：；前n项和；其变形；
2、等比数列的通项公式：；前n项和；
3、在五个基本量中，已知三个量求出另外两个量；
4、由错项相减，裂项法等来求数列前n项的和。
【典型例题】
例1：（1）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若EQ\f(S\S\do(3),S\S\do(6))＝EQ\f(1,3)，则EQ\f(S\S\do(6),S\S\do(12))＝（)
（A）EQ\f(3,10)（B）EQ\f(1,3)（C）EQ\f(1,8)（D）EQ\f(1,9)
答案：A。解析：根据等差数列的性质……成等差数列，即可得解。
（2）设是等差数列的前项和，，则等于（）
A.15B.16C.17D.18
答案：D。解析：由得，再由。
（3）在等差数列中，，且，则中最大的负数为（）
A.B.C.D.
答案：C。解析：。
（4）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以表示第n堆的
乒乓球总数，则；
（答案用n表示）.
答案：10，

解析：，由题可知……，下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层个数，即，再累加即可得。
（5）等差数列共有项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则中间项为_______.
答案：29。解析：S奇—S偶=29=a中。
例2：有固定项的数列的前项和，现从中抽取某一项（不包括首相、末项）后，余下的项的平均值是79.
（1）求数列的通项；
（2）求这个数列的项数，抽取的是第几项。
答案：解：（1）由得，当时，，显然满足，∴，∴数列是公差为4的递增等差数列.
（2）设抽取的是第项，则，.
由，∵，∴，
由.
故数列共有39项，抽取的是第20项.
例3：已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第二项，第五项，第十四项分别是
等比数列{bn}的第二项，第三项，第四项．
⑴求数列{an}与{bn}的通项公式；
⑵设数列{cn}对任意正整数n，均有，求c1＋c2＋c3＋…＋c2007的值．
答案：⑴由题意得（a1＋d）(a1＋13d)＝(a1＋4d)2(d>0)解得d＝2，∴an＝2n－1，bn＝3n－1．
⑵当n＝1时，c1＝3当n≥2时，∵∴故

例4：已知数列中，是公比为（）的等比数列，又设。
(Ⅰ)求数列的通项及前n项和Sn；
(Ⅱ)假设对任意n>1都有Sn>bn,求r的取值范围。
答案：解：（Ⅰ）∵是公比为的等比数列，∴
∴分别是首项为与，公比均为的等比数列
∴，∴
∵∴
（Ⅱ）
对任意的，当时，∴，，∴
当时，∴，∴
故当时，均有∴当时∵
则
因此，对任意，使的取值范围是
【课内练习】
1．在等差数列｛an｝中，若=12,Sn是数列｛an｝的前n项和，则的值为()
A.48B.54C.60D.66
答案：A。解析：由
2．{an}是实数构成的等比数列，是其前n项和，则数列{}中（）
A．任一项均不为0B．必有一项为0
C．至多有一项为0D．或无一项为0，或无穷多项为0
答案：D。解析：若数列为，则中有无穷多项为0，否则无一项为0。
3．设，则等于()
A. B.
C. D.
答案：B.解析：。
4．等差数列前项和为，已知为________时，最大.
答案：7。解析：由，则，由是一递减数列，即S7最大。
5．若a＋b＋c，b＋c－a，c＋a－b，a＋b－c依次成等比数列，公比为q，则q3＋q2＋q
＝．
答案：q3＋q2＋q＝1。解析：设x＝a＋b＋c，则b＋c－a＝xq，c＋a－b＝xq2，a＋b－c＝xq3，∴xq＋xq2＋xq3＝x(x≠0)∴q3＋q2＋q＝1．
6．已知数列满足，则该数列前26项的和为。
答案：—10。解析：的各项的值具有周期性。
7．已知正项数列，其前项和满足且成等比数列，求数列的通项
答案：解析:∵10Sn=an2+5an+6,①∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3.
又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2),②
由①－②得10an=(an2－an－12)+5(an－an－1),即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
∵an+an－1>0,∴an－an－1=5(n≥2).
当a1=3时,a3=13,a15=73.a1,a3,a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时,a3=12,a15=72,有a32=a1a15,∴a1=2,∴an=5n－3.
8．已知数列{2n