高考数学大二轮复习 层级二 专题一 函数与导数 第2讲 基本初等函数、函数与方程教学案-人教版高三全册数学教学案.doc

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第2讲基本初等函数、函数与方程
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1．掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质．
2．以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理．
3．能利用函数解决简单的实际问题．

[真题体验]
1．(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________.
解析：∵f(x)＝log2(x2＋a)．且f(3)＝1，∴f(3)＝log2(9＋a)＝1，∴9＋a＝2，∴a＝－7.
答案：－7
2．(全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝()
A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)
C.eq\f(1,2) D．1
解析：C[x2－2x＝－a(ex－1＋e－x＋1)，设g(x)＝ex－1＋e－x＋1，g′(x)＝ex－1－e－x＋1＝ex－1－eq\f(1,ex－1)＝eq\f(e2x－1－1,ex－1)，当g′(x)＝0时，x＝1，当x＜1时，g′(x)＜0函数单调递减，当x＞1时，g′(x)＞0，函数单调递增，当x＝1时，函数取得最小值g(1)＝2，设h(x)＝x2－2x，当x＝1时，函数取得最小值－1，若－a＞0，函数h(x)，和ag(x)没有交点，当－a＜0时，－ag(1)＝h(1)时，此时函数h(x)和ag(x)有一个交点，即－a×2＝－1⇒a＝eq\f(1,2)，故选C.]
3．(2019·全国Ⅰ卷)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则()
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．c＜a＜b D．b＜c＜a
解析：B[∵a＝log20.2＜log21＝0，b＝20.2＞20＝1，
0＜c＝0.20.3＜0.20＝1，∴b＞c＞a.选B.]
4．(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,lnx，x>0，))g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：C[令g(x)＝f(x)＋x＋a＝0，则f(x)＝－x－a，
要使g(x)存在2个零点，则需y＝f(x)与y＝－x－a有两个交点，画出函数f(x)和y＝－x－a的图象如图所示，则需－a≤1，∴a≥－1.]

[主干整合]
1．指数式与对数式的七个运算公式
(1)am·an＝am＋n；
(2)(am)n＝amn；
(3)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(4)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；
(5)logaMn＝nlogaM；
(6)alogaN＝N；
(7)logaN＝eq\f(logbN,logba)(注：a，b＞0且a，b≠1，M＞0，N＞0)．
2．指数函数与对数函数的图象和性质
指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的图象和性质，分0＜a＜1，a＞1两种情况，当a＞1时，两函数在定义域内都为增函数，当0＜a＜1时，两函数在定义域内都为减函数．
3．函数的零点问题
(1)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．
(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解．
4．应用函数模型解决实际问题的一般程序
eq\f(读题,文字语言)⇒eq\f(建模,数学语言)⇒eq\f(求解,数学应用)⇒eq\f(反馈,检验作答).

热点一基本初等函数的图象与性质
[例1](1)(2019·济南三模)若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是()

[解析]B[由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，
∴a＞1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称．
因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B.]
(2)(2019·郑州三模)已知a(a＋1)≠0，若函数f(x)＝log2(ax－1)在(－3，－2)上为减函数，且函数g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x，x≤\f(1,2)，,log|a|x，x＞\f(1,2)))在R上有最大值，则a的取值范围为()
A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，－\f(1,2))) B.eq\