高考数学一轮复习 第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 5.3 平面向量的数量积与平面向量应用举例教学案 苏教版-苏教版高三全册数学教学案.doc

第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例
[最新考纲]1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．

1．向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]．
2．平面向量的数量积
定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积3.平面向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a；
(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．
结论几何表示坐标表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夹角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|
≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·eq\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))eq\O([常用结论])
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量． ()
(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．
()
(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0. ()
(4)(a·b)c＝a(b·c)． ()
[答案](1)√(2)√(3)×(4)×
二、教材改编
1．已知a·b＝－12eq\r(2)，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为()
A．12 B．6
C．3eq\r(3) D．3
B[a·b＝|a||b|cos135°＝－12eq\r(2)，所以|b|＝eq\f(－12\r(2),4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2))))＝6.]
2．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为．
－2[由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cosθ＝4×cos120°＝－2.]
3．已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6eq\r(3)，则a与b的夹角θ＝.
eq\f(5π,6)[cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(－6\r(3),2×6)＝－eq\f(\r(3),2).
又因为0≤θ≤π，所以θ＝eq\f(5π,6).]
4．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝.
8[∵a＝(1，m)，b＝(3，－2)，
∴a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b可得
(a＋b)·b＝12－2m＋4＝16－2m＝0，即m＝8.]

考点1平面向量数量积的运算
平面向量数量积的3种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用数量积的几何意义求解．
(1)(2019·全国卷Ⅱ)已知eq\o(AB,\s\up7(→))＝(2,3)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(3，t)，|eq\o(BC,\s\up7(→))|＝1，则eq\o(AB,\s\up7(→)