高考数学一轮复习 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例教学案 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学教学案.doc

第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例
[考纲传真]1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．

1．向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]．
2．平面向量的数量积
定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何
意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积3.平面向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a；
(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．
结论几何表示坐标表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夹角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与
|a||b|的
关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|
≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·eq\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))[常用结论]
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．()
(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．()
(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.()
(4)(a·b)c＝a(b·c)．()
[答案](1)√(2)√(3)×(4)×
2．(教材改编)已知|a|＝6，|b|＝3，向量a在b方向上的投影是4，则a·b为()
A．12B．8C．－8 D．2
A[∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉
＝|b||a|cos〈a，b〉
＝3×4＝12.]
3．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝()
A．－8B．－6C．6 D．8
D[∵a＝(1，m)，b＝(3，－2)，
∴a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b可得
(a＋b)·b＝12－2m＋4＝16－2m＝0，即m＝8.]
4．已知a，b是平面向量，如果|a|＝3，|b|＝4，|a＋b|＝2，那么|a－b|＝()
A.eq\r(46)B．7C．5D.eq\r(21)
A[∵|a|＝3，|b|＝4，|a＋b|＝2，∴a2＋b2＋2a·b＝4，即2a·b＝－21.
∴|a－b|＝eq\r(a2＋b2－2a·b)＝eq\r(9＋16＋21)＝eq\r(46).]
5．已知向量a＝(1，eq\r(3))，b＝(eq\r(3)，1)，则a与b夹角的大小为________．
eq\f(π,6)[由题意得|a|＝eq\r(1＋3)＝2，|b|＝eq\r(3＋1)＝2，
a·b＝1×eq\r(3)＋eq\r(3)×1＝2eq\r(3).
设a与b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(2\r(3),2×2)＝eq\f(\r(3),2).
∵θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(π,6).]

平面向量数量积的运算
1．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量eq\o(CD,\s\up12(→))在eq\o(BA,\s\up12(→))方向上的投影是()
A．－3eq\r(5)B．－eq\f(3\r(2),2)C．3eq