高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第26讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例学案-人教版高三全册数学学案.doc

第26讲平面向量的数量积与平面向量应用举例考纲要求考情分析命题趋势1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.2016·全国卷Ⅰ132016·全国卷Ⅲ32016·北京卷42016·天津卷72016·山东卷81.平面向量的数量积是高考的热点主要考查平面向量数量积的运算、几何意义、两向量的模与夹角以及垂直问题．2．数量积的综合应用是高考的重点常与函数、三角函数、不等式、解析几何等内容结合考查.分值：5分1．平面向量的数量积若两个__非零__向量a与b它们的夹角为θ则__|a||b|cosθ__叫做a与b的数量积(或内积)记作__a·b＝|a||b|cosθ__.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a与b垂直的充要条件是__a·b＝0__两个非零向量a与b平行的充要条件是__a·b＝±|a||b|__.2．平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影__|b|cosθ__的乘积．3．平面向量数量积的重要性质(1)e·a＝a·e＝__|a|cos〈ae〉__；(2)非零向量aba⊥b⇔__a·b＝0__；(3)当a与b同向时a·b＝__|a||b|__；当a与b反向时a·b＝__－|a||b|__a·a＝__a2__|a|＝__eq\r(a·a)__；(4)cosθ＝__eq\f(a·b|a||b|)__；(5)|a·b|__≤__|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝__b·a__(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝__a·(λb)__(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝__a·c＋b·c__.5．平面向量数量积性质的坐标表示设向量a＝(x1y1)b＝(x2y2)则a·b＝__x1x2＋y1y2__；由此得到：(1)若a＝(xy)则|a|2＝__x2＋y2__或|a|＝__eq\r(x2＋y2)__；(2)设A(x1y1)B(x2y2)则AB两点间的距离|AB|＝|eq\o(AB\s\up6(→))|＝__eq\r(x1－x22＋y1－y22)__；(3)设a＝(x1y1)b＝(x2y2)则a⊥b⇔__x1x2＋y1y2＝0__.6．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(3)(a－b)2＝__a2－2a·b＋b2__.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量且有正有负也可为零．(√)(2)若a∥b则必有a·b≠0.(×)(3)两个向量的数量积是一个实数向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(×)(4)若a·b<0则向量ab的夹角为钝角．(×)解析(1)正确．由向量投影的定义可知当两向量夹角为锐角时结果为正为钝角时结果为负为直角时结果为零．(2)错误．当a与b至少有一个为0时a∥b但a·b＝0.(3)正确．由数量积与向量线性运算的意义可知正确．(4)错误．当a·b＝－|a||b|时a与b的夹角为π.2．下列四个命题中真命题的个数为(C)①若a·b＝0则a⊥b；②若a·b＝b·c且b≠0则a＝c；③(a·b)·c＝a·(b·c)；④(a·b)2＝a2·b2.A．4B．2C．0D．3解析a·b＝0时a⊥b或a＝0或b＝0.故①命题错．∵a·b＝b·c∴b·(a－c)＝0.又∵b≠0∴a＝c或b⊥(a－c)．故②命题错误．∵a·b与b·c都是实数故(a·b)·c是与c共线的向量a·(b·c)是与a共线的向量∴(a·b)·c不一定与a·(b·c)相等．故③命题不正确．∵(a·b)2＝(|a||b|cosθ)2＝|a|2|b|2cos2θ≤|a|2·|b|2＝a2·b2.故④命题不正确．3．在△ABC中AB＝3AC＝2BC＝eq\r(10)则eq\o(AB\s\up6(→))·eq\o(AC\s\up6(→))＝(D)A．－eq\f(32)B．－eq\f(23)C．eq\f(23)D．eq\f(32)解析在△ABC中cos∠BAC＝eq\f(AB2＋AC2－BC22AB·AC)＝eq\f(9＋4－102×3×2)＝eq\f(14)∴eq\o(AB\s\up6(→))·eq\o(AC