2022高考数学一轮复习-第五章-平面向量、数系的扩充与复数的引入-5.3-平面向量的数量积与平面向.docx

2022高考数学一轮复习第五章平面向量、数系的扩充与复数的引入5.3平面向量的数量积与平面向量的应用学案北师大版2022高考数学一轮复习第五章平面向量、数系的扩充与复数的引入5.3平面向量的数量积与平面向量的应用学案北师大版2022高考数学一轮复习第五章平面向量、数系的扩充与复数的引入5.3平面向量的数量积与平面向量的应用学案北师大版2022高考数学一轮复习第五章平面向量、数系的扩充与复数的引入5.3平面向量的数量积与平面向量的应用学案北师大版年级：姓名：5.3平面向量的数量积与平面向量的应用必备知识预案自诊知识梳理1.平面向量的数量积定义设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b续表投影|a|cosθ叫作向量a在b方向上的投影,|b|cosθ叫作向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积2.向量数量积的运算律交换律a·b=b·a分配律(a+b)·c=a·c+b·c数乘结合律(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数)3.平面向量数量积的性质及坐标表示已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.向量的有关概念几何表示坐标表示模|a|=a·a|a|=x12+y12数量积|a||b|cosθx1x2+y1y2夹角cosθ=a·b|a||b|cosθ=x1x2+y1y2x12+y12x22+y22A(x1,y1),B(x2,y2)两点的距离|AB|=|AB||AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2a⊥b的充要条件a·b=0x1x2+y1y2=0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2+y1y2|≤x12+y12·x22+y224.向量在平面几何中的应用(1)要证AB=CD,可转化为证明AB2=CD2或|AB|=|CD|.(2)要证两线段AB,CD平行,只要证存在唯一实数λ≠0,使等式AB=λCD成立即可.(3)要证两线段AB,CD垂直,只需证AB·CD=0.(4)求夹角问题,利用夹角公式cosθ=a·b|a||b|.1.平面向量数量积运算的常用公式:(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2.(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.2.当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.3.a与b的夹角θ为锐角,则有a·b>0,反之不成立(θ为0时不成立);a与b的夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立(θ为π时不成立).考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)一个非零向量在另一个非零向量方向上的投影为数量,且有正有负.()(2)若a·b>0,则a和b的夹角为锐角;若a·b<0,则a和b的夹角为钝角.()(3)若a·b=0,则必有a⊥b.()(4)(a·b)·c=a·(b·c).()(5)在△ABC中,若AB·BC<0,则△ABC为钝角三角形.()2.(2020全国3,理6)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos<a,a+b>=()A.-3135B.-1935C.1735D.19353.(2019全国2,理3)已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,则AB·BC=()A.-3B.-2C.2D.34.(2020全国1,文14)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若a⊥b,则m=.5.(2020全国2,理13)已知单位向量a,b的夹角为45°,ka-b与a垂直,则k=.关键能力学案突破考点平面向量数量积的运算【例1】(1)(2020新高考全国1,7)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则AP·AB的取值范围是()A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)(2)(2020北京,13)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足AP=12(AB+AC),则|PD|=;PB·PD=.思考求向量数量积的运算有几种形式?解题心得1.求两个向量的数量积有三种方法:(1)当已知向量的模和夹角时,利用定义求解,即a·b=|a||b|cosθ(其中θ是向量a与b的夹角).(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.(3)利用数量积的几何意义.数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可利用向量的加减运算或数量积的运算律化简.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.对点训练1(1)(2020北京朝阳期中,7)在△ABC中,AB=4,AC=3,且|AB+AC|=|AB-AC|,则BC·CA=(