高考数学一轮复习 第二章 函数概念及基本初等函数Ⅰ第2节 函数的单调性与最值教学案（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学教学案.doc

第2节函数的单调性与最值考试要求1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1x2当x1<x2时都有f(x1)<f(x2)那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时都有f(x1)>f(x2)那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值[常用结论与微点提醒]1.若f(x)g(x)均为区间A上的增(减)函数则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数.2.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)y＝eq\f(1f（x）)的单调性相反.3.“对勾函数”y＝x＋eq\f(ax)(a>0)的单调增区间为(－∞－eq\r(a))(eq\r(a)＋∞)；单调减区间是[－eq\r(a)0)(0eq\r(a)].诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对于函数f(x)x∈D若对任意x1x2∈D且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0则函数f(x)在区间D上是增函数.()(2)函数y＝eq\f(1x)的单调递减区间是(－∞0)∪(0＋∞).()(3)对于函数y＝f(x)若f(1)<f(3)则f(x)为增函数.()(4)函数y＝f(x)在[1＋∞)上是增函数则函数的单调递增区间是[1＋∞).()解析(2)此单调区间不能用并集符号连接取x1＝－1x2＝1则f(－1)＜f(1)故应说成单调递减区间为(－∞0)和(0＋∞).(3)应对任意的x1＜x2f(x1)＜f(x2)成立才可以.(4)若f(x)＝xf(x)在[1＋∞)上为增函数但y＝f(x)的单调递增区间是R.答案(1)√(2)×(3)×(4)×2.(老教材必修1P39B3改编)下列函数中在区间(0＋∞)上单调递增的是()A.y＝xeq\s\up6(\f(12))B.y＝2－xC.y＝logeq\s\do9(\f(12))xD.y＝eq\f(1x)解析函数y＝xeq\f(12)在(0+∞)上是增函数函数y＝2－xy＝logeq\s\do9(\f(12))xy＝eq\f(1x)在(0+∞)上均是减函数.答案A3.(新教材必修第一册P81例5改编)函数y＝eq\f(xx－1)在区间[23]上的最大值是________.解析函数y＝eq\f(xx－1)＝1＋eq\f(1x－1)在[23]上递减当x＝2时y＝eq\f(xx－1)取得最大值eq\f(22－1)＝2.答案24.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A.(－∞－2)B.(－∞1)C.(1＋∞)D.(4＋∞)解析由x2－2x－8>0得x>4或x<－2.设t＝x2－2x－8则y＝lnt为增函数.要求函数f(x)的单调递增区间即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间.∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4＋∞)∴函数f(x)的单调递增区间为(4＋∞).答案D5.(2020·新乡模拟)函数y＝f(x)是定义在[－22]上的减函数且f(a＋1)<f(2a)则实数a的取值范围是________.解析由条件知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2≤a＋1≤2－2≤2a≤2a＋1>2a))解得－1≤a<1.答案[－11)6.(2020·青岛二中月考)函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1x)x≥1－x2＋2x<1))的最大值为________.解析当x≥1时函数f(x)＝eq\f(1x)为减函数所以f(x)在x＝1处取得最大值为f(1)＝1；当x<1时易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.答案2考点一确定函数的单调性(区间)【例1】(1)函数y＝lo