高考数学一轮复习 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例教学案（含解析）理-人教版高三全册数学教学案.doc

第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例
[考纲传真]1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．

1．向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0°，180°]，其中当a与b的夹角是90°时，a与b垂直，记作a⊥b，当a与b的夹角为0°时，a∥b，且a与b同向，当a与b的夹角为180°时，a∥b，且a与b反向．
2．平面向量的数量积
定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b.规定：零向量与任一向量的数量积为0投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影；
|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积3.平面向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a；
(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．
结论几何表示坐标表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夹角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|
≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·eq\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))eq\o([常用结论])
1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．
2．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
3．当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在△ABC中，向量eq\o(AB,\s\up12(→))与eq\o(BC,\s\up12(→))的夹角为∠B. ()
(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量． ()
(3)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角． ()
(4)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c. ()
[答案](1)×(2)√(3)×(4)×
2．(教材改编)设a＝(5，－7)，b＝(－6，t)，若a·b＝－2，则t的值为()
A．－4B．4 C.eq\f(32,7) D．－eq\f(32,7)
A[a·b＝5×(－6)－7t＝－2，解得t＝－4，故选A.]
3．(教材改编)已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6eq\r(3)，则a与b的夹角θ为()
A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3) C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)
D[cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－6\r(3),2×6)＝－eq\f(\r(3),2)，
又0≤θ≤π，则θ＝eq\f(5π,6)，故选D.]
4．已知向量a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________.
2[由a⊥b得a·b＝0，即－6＋3m＝0，
解得m＝2.]
5．(教材改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．
－2[由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cosθ＝4×cos120°＝－2.]

平面向量数量积的运算1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()
A．4B．