高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程学案 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学学案.doc

PAGE-9-

3．2.1直线的方向向量与直线的向量方程
学习目标核心素养1.理解直线的方向向量，了解直线的向量方程．(重点)
2.会用向量方法证明线线、线面、面面平行．(难点、易混点)
3.会用向量证明两条直线垂直，求两条直线所成的角．(难点)1.通过学习直线的方向向量及方向方程等概念，培养学生的数学抽象素养.
2.利用向量法证明两直线垂直，求两直线所成的角，提升学生的逻辑推理素养.

1．用向量表示直线或点在直线上的位置
(1)在直线l上给定一个定点A和它的一个方向向量a，对于直线l上的任意一点P，则有eq\o(AP,\s\up15(→))＝ta或eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋ta或eq\o(OP,\s\up15(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up15(→))＋teq\o(OB,\s\up15(→))(eq\o(AB,\s\up15(→))＝a)，上面三个向量等式都叫做空间直线的向量参数方程．向量a称为该直线的方向向量．
(2)线段AB的中点M的向量表达式eq\o(OM,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→)))．
2．用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件，得l1∥l2或l1与l2重合⇔v1∥v2.
(2)已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则由共面向量定理，可得l∥α或l在α内⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.
(3)已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得α∥β或α与β重合⇔v1∥β且v2∥β.
3．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角
设两条直线所成的角为θ，v1和v2分别是l1和l2的方向向量，则l1⊥l2⇔v1⊥v2，cosθ＝|cos〈v1，v2〉|.

1．直线l1，l2的方向向量分别为v1＝(3,0,1)，v2＝(－1,0，m)，若l1∥l2，则m等于()
A．1 B．3
C.eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)
D[因为l1∥l2.所以存在实数λ，使v1＝λv2
即(3,0,1)＝λ(－1,0，m)，
∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－λ＝3,λm＝1))解得m＝－eq\f(1,3).]
2．若A(1,0，－1)，B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是()
A．(2,2,6) B．(1,1,3)
C．(3，l,1) D．(－3,0,1)
B[eq\o(AB,\s\up15(→))＝(2,1,2)－(1,0，－1)＝(1,1,3)，故选B.]
3．直线l1与l2不重合，直线l1的方向向量为v1＝(－1,1,2)，直线l2的方向向量v2＝(2,0,1)，则直线l1与l2的位置关系是________．
垂直[因为v1·v2＝(－1,1,2)·(2,0,1)＝－2＋2＝0，所以v1⊥v2.]
空间中点的位置确定【例1】已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(3，4,0)，B(2,5,5)，C(0,3,5)．
(1)若eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(AC,\s\up15(→)))，求P点的坐标；
(2)若P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，求P点的坐标．
[思路探究](1)由条件先求出eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(AC,\s\up15(→))的坐标，再利用向量的运算求P点的坐标．
(2)先把条件AP∶PB＝1∶2转化为向量关系，再运算．
[解](1)eq\o(AB,\s\up15(→))＝(－1,1,5)，eq\o(AC,\s\up15(→))＝(－3，－1,5)．
eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(AC,\s\up15(→)))＝eq\f(1,2)(2,2,0)＝(1,1,0)．
∴P点的坐标为(1,1,0)．
(2)由P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，
知eq\o(AP,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up15(→)).
设点P的坐标为(x，y，z)，
则eq\o(AP,\s\up15(→))＝(x－3，y－