高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程学案 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学学案.doc

3．2.1直线的方向向量与直线的向量方程
1.了解直线的方向向量的意义．2.会求直线的向量方程．3.掌握用向量的方法证明平行、垂直等问题．

1．用向量表示直线或点在直线上的位置
(1)直线的方向向量
与直线平行或共线的非零向量，叫做此直线的方向向量．
(2)空间直线的向量参数方程
点A为直线l上的定点，a为直线l的一个方向向量，点P为直线l上任一点，t为一个任意实数．

以上三种形式都叫做空间直线的向量参数方程．
(3)线段中点的向量表示式
设点M是线段AB的中点，则eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．
2．用向量方法证明线线平行、线面平行、面面平行
(1)设空间直线l1与l2的方向向量分别为v1，v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2．
(2)已知两个非零向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则l∥α(或l⊂α)⇔存在两个实数x，y，使v＝x__v1＋yv2．
(3)平面与平面平行
已知两个不共线的向量v1，v2与平面α共面，则α∥β或α与β重合⇔v1∥β且v2∥β．
3．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角
设两条直线所成角为θ(锐角)，则直线方向向量间的夹角与θ相等或互补．设直线l1与l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2，cosθ＝|cos〈v1，v2〉|．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．()
(2)两直线的方向向量平行，则两直线平行．()
(3)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．()
答案：(1)√(2)×(3)×
2．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()
A．(1，2，3) B．(1，3，2)
C．(2，1，3) D．(3，2，1)
答案：A
3．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于()
A．30°
B．150°
C．30°或150°
D．以上均错
答案：A

确定直线上任一点的位置
已知O是坐标原点，A、B、C三点的坐标分别为A(3，4，0)，B(2，5，5)，C(0，3，5)．
(1)若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))，求P点的坐标；
(2)若P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，求P点的坐标．
【解】(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，1，5)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－3，－1，5)．
eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)×(2，2，0)＝(1，1，0)．
所以P点的坐标为(1，1，0)．
(2)由P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，知eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up6(→)).
设点P的坐标为(x，y，z)，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－3，y－4，z)，
eq\o(PB,\s\up6(→))＝(2－x，5－y，5－z)，
故(x－3，y－4，z)＝eq\f(1,2)(2－x，5－y，5－z)，
即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3＝\f(1,2)(2－x),y－4＝\f(1,2)(5－y),z＝\f(1,2)(5－z)))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(8,3),y＝\f(13,3),z＝\f(5,3))).
因此P点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，\f(13,3)，\f(5,3))).
eq\a\vs4\al()
利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的位置，进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置．
已知点A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C为线段AB上一点，且AC＝eq\f(1,3)AB，则C点坐标为()
A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，－\f(1,2)，\f(5,2)))
B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，－3，2))
C．eq\b\lc\(\rc