高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程学案 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学学案.doc

3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程学习目标1.理解直线的方向向量了解直线的向量方程.2.会用向量方法证明线线、线面、面面的平行.3.会用向量证明两条直线垂直.4.会利用向量求两条直线所成的角．知识点一用向量表示直线或点在直线上的位置思考在平面中可以用向量确定平面上一点的位置或点的集合．空间中一点的位置或点的集合怎样确定？梳理用向量表示直线或点在直线上的位置(1)在直线l上给定一个定点A和它的一个方向向量a对于直线l上的任意一点P则有eq\o(AP\s\up6(→))＝________或eq\o(OP\s\up6(→))＝________或eq\o(OP\s\up6(→))＝________(eq\o(AB\s\up6(→))＝a)上面三个向量等式都叫做空间直线的______________．向量a称为该直线的方向向量．(2)线段AB的中点M的向量表达式eq\o(OM\s\up6(→))＝__________________.知识点二用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行1．设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2则由向量共线的条件得l1∥l2或l1与l2重合⇔__________.2．已知两个不共线向量v1v2与平面α共面一条直线l的一个方向向量为v则由共面向量定理可得l∥α或l在α内⇔________________________________.3．已知两个不共线向量v1v2与平面α共面则由两平面平行的判定与性质得α∥β或α与β重合⇔________________.知识点三用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角1．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角设两条直线所成的角为θν1和ν2分别是l1和l2的方向向量则l1⊥l2⇔________cosθ＝__________.2．求两直线所成的角应注意的问题在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v1v2所以cos〈v1v2〉＝eq\f(v1·v2|v1||v2|).但要注意两直线的夹角与〈v1v2〉并不完全相同当〈v1v2〉为钝角时应取其________作为两直线的夹角．类型一空间中点的位置确定例1已知点A(240)B(133)如图以eq\o(AB\s\up6(→))的方向为正向在直线AB上建立一条数轴PQ为轴上的两点且分别满足条件：(1)AP∶PB＝1∶2；(2)AQ∶QB＝2.求点P和点Q的坐标．反思与感悟确定点的坐标可利用向量运算根据两个向量相等列方程解得．跟踪训练1已知点A(413)B(2－51)C为线段AB上一点且eq\f(|\o(AC\s\up6(→))||\o(AB\s\up6(→))|)＝eq\f(13)则点C的坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(72)－\f(12)\f(52)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(38)－32))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(103)－1\f(73)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(52)－\f(72)\f(32)))类型二向量方法处理平行问题例2如图已知正方体ABCD－A′B′C′D′点MN分别是面对角线A′B与面对角线A′C′的中点．求证：MN∥侧面AD′；MN∥AD′并且MN＝eq\f(12)AD′.反思与感悟(1)直线与直线平行、直线与平面平行的向量证法根据是空间向量共线、共面定理．(2)利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点．跟踪训练2(1)在长方体ABCD—A1B1C1D1中AB＝3AD＝4AA1＝2.点M在棱BB1上且BM＝2MB1点S在DD1上且SD1＝2SD点NR分别为A1D1BC的中点求证：MN∥RS.(2)如图已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直AB＝eq\r(2)AF＝1M是线段EF的中点．求证：AM∥平面BDE.类型三两直线所成的角的求解例3已知三棱锥O—ABC(如图)OA＝4OB＝5OC＝3∠AOB＝∠BOC＝60°∠COA＝90°MN分别是棱OABC的中点．求直线MN与AC所成角的余弦值．反思与感悟向量所成角与异面直线所成角的差异：向量所成角的范围是[0π]而异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0\f(π2)))故异面直线所成角的余弦值一定大于等于0.跟踪训练3长方体ABCD—A1B1C1D1