高中数学 3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程学案 新人教B版选修2-1-新人教B版高中选修2-1数学学案.doc

223.2.1直线的方向向量与直线的向量方程1．理解直线的方向向量了解直线的向量方程．2．会用向量的方法证明线线、线面、面面平行．(重点)3．会用向量证明两条直线垂直会利用向量求两条直线所成的角．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1用向量表示直线或点在直线上的位置阅读教材P95～P96“例1”完成下列问题．1.给定一个定点A和一个向量a再任给一个实数t以A为起点作向量eq\o(AP\s\up6(→))＝ta①这时点P的位置被t的值完全确定．当t在实数集R中取遍所有值时点P的轨迹是通过点A且平行于向量a的一条直线l.反之在直线l上任取一点P一定存在一个实数t使eq\o(AP\s\up6(→))＝ta.向量方程①通常称作直线l以t为参数的参数方程．向量a称为该直线的方向向量．图3­2­12．对空间任一个确定的点O点P在直线l上的充要条件是存在唯一的实数t满足等式eq\o(OP\s\up6(→))＝eq\o(OA\s\up6(→))＋ta.②如果在l上取eq\o(AB\s\up6(→))＝a则②式可化为eq\o(OP\s\up6(→))＝(1－t)eq\o(OA\s\up6(→))＋teq\o(OB\s\up6(→)).③①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程它们都与平面的直线向量参数方程相同．判断(正确的打“√”错误的打“×”)(1)直线l的方向向量的基线与l一定重合．()(2)直线l的方向向量a一定是单位向量．()(3)已知ABP三点共线O为空间中任一点若eq\o(OP\s\up6(→))＝xeq\o(OA\s\up6(→))＋yeq\o(OB\s\up6(→))则x＋y＝1.()(4)若点A(－101)B(147)在直线l上则直线l的向量参数方程可以为eq\o(AP\s\up6(→))＝teq\o(AB\s\up6(→)).()【答案】(1)×(2)×(3)√(4)√教材整理2用向量证明直线、平面间的平行关系阅读教材P97～P98内容完成下列问题．1．设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2则由向量共线的条件得l1∥l2或l1与l2重合⇔v1∥v2.2．已知两个不共线向量v1v2与平面α共面一条直线l的一个方向向量为v则由共面向量定理可得l∥α或l在α内⇔存在两个实数xy使v＝xv1＋yv2.3．已知两个不共线的向量v1v2与平面α共面则由两平面平行的判定与性质得α∥β或α与β重合⇔v1∥β且v2∥β.1．直线l的方向向量为a平面α内两共点向量eq\o(OA\s\up6(→))eq\o(OB\s\up6(→))下列关系中能表示l∥α的是()A．a＝eq\o(OA\s\up6(→))B．a＝keq\o(OB\s\up6(→))C．a＝peq\o(OA\s\up6(→))＋λeq\o(OB\s\up6(→))D．以上均不能【答案】D2．若a＝(4－2mm－1m－1)b＝(42－2m2－2m)分别为直线l1l2的方向向量且l1∥l2则实数m＝________.【解析】∵l1∥l2∴a∥b∴eq\f(4－2m4)＝eq\f(m－12－2m)解得m＝3.当m＝1时也适合题意故m＝1或3.【答案】1或3教材整理3利用向量证明两直线垂直及求夹角阅读教材P99～P101内容完成下列问题．1．设直线l1和l2所成的角为θ方向向量分别为v1和v2则l1⊥l2⇔v1⊥v2cosθ·|cos〈v1v2〉|.2．求两直线所成的角应注意的问题在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v1v2所以cos〈v1v2〉＝eq\f(v1·v2|v1||v2|).但要注意两直线的夹角与〈v1v2〉并不完全相同当〈v1v2〉为钝角时应取其补角作为两直线的夹角．1．设l1的方向向量a＝(13－2)l2的方向向量b＝(－43m)若l1⊥l2则m等于________．【解析】∵l1⊥l2∴1×(－4)＋3×3＋(－2)·m＝0∴m＝eq\f(52).【答案】eq\f(52)2．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°则l1与l2这两条异面直线所成的角等于________．【解析】由异面直线所成角的定义可知l1与l2所成的角为180°－150°＝30°.【答案】30°[质疑·手记]预习完成后请将你的疑问记录并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：________________